Questão: Sabendo que y_{1}(t)=t é solução de t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}-2 y=0, determine a solução do PVI, para t>0 :
t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}-2 y=0, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Euler–Cauchy
t^{2}y''+2t\,y'-2y=0
para t>0, e diz que y_{1}(t)=t é uma solução. Queremos achar a solução geral e depois ajustar para o PVI
y(1)=0,\quad y'(1)=1.

Passo 2

Usamos a tentativa y=t^{r}. Substituindo em
t^{2}y''+2t\,y'-2y=0
vem a equação característica
r(r-1)+2r-2= r^{2}+r-2=0,
cuja soluções são r=1 e r=-2. Assim, além de y_{1}(t)=t, obtemos y_{2}(t)=t^{-2}.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(t)=C_{1}\,t + C_{2}\,t^{-2}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
Para y(1)=0 temos
C_{1}+C_{2}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Como
y'(t)=C_{1}-2C_{2}\,t^{-3},
a condição y'(1)=1
y'(1)=C_{1}-2C_{2}=1.
Substituindo C_{2}=-C_{1} resulta
C_{1}+2C_{1}=3C_{1}=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=\tfrac{1}{3},\quad C_{2}=-\tfrac{1}{3}.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\bigl(t - t^{-2}\bigr),\quad t>0.

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