Examine a convergência das seguintes seqüências em
:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para examinarmos a convergência em
.
Informações relevantes:
- A sequência é dada por
. - A pergunta é se existe um número real
tal que quando , ou se a sequência diverge (por exemplo para ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica para ver o comportamento de
quando
cresce.
Faço a divisão algébrica:
logo
Explicando passo a passo: multipliquei
e obtive
; para recuperar
somei
. Dividindo tudo por
vem a decomposição acima.
Passo 3
Interpretação da decomposição:
- O termo
cresce sem limite quando . - O termo
tende a quando .
Portanto, por intuição,
deve crescer sem limite (porque a parte dominante é
).
Passo 4
Agora faço uma prova rigorosa de que
diverge para
. Primeiro lembro a definição usada: dizer que
significa que para todo número real
existe
tal que, para todo
, vale
.
Usarei a desigualdade simples
pois
para todo
.
Dado um
, escolha
onde
é o menor inteiro maior ou igual a
. Então
Para todo
temos
. Como
, segue que para todo
vale
. Isso satisfaz a definição de
.
Passo 5
Conclusão e interpretação prática: a sequência não converge para nenhum número real finito; na verdade ela diverge para
. Em termos intuitivos,
cresce aproximadamente como
(mais precisamente como
), então fica arbitrariamente grande quando
aumenta.
Força aí — essa é fácil de visualizar: o quadrado no numerador vence o
no denominador, fazendo a sequência explodir para cima.
Resposta
A sequência diverge para
.