Examine a convergência das seguintes seqüências em R:
\left(\frac{n^{2}}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_n=\dfrac{n^{2}}{n+1} para n\in\mathbb{N} e pede para examinarmos a convergência em \mathbb{R}.
Informações relevantes:
  • A sequência é dada por a_n=\dfrac{n^{2}}{n+1}.
  • A pergunta é se existe um número real L tal que a_n\to L quando n\to\infty, ou se a sequência diverge (por exemplo para +\infty).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica para ver o comportamento de a_n quando n cresce.
Faço a divisão algébrica:
n^{2} = (n+1)(n-1) + 1,
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\frac{n^{2}}{n+1} = n-1 + \frac{1}{n+1}.
Explicando passo a passo: multipliquei (n+1)(n-1) e obtive n^{2}-1; para recuperar n^{2} somei 1. Dividindo tudo por n+1 vem a decomposição acima.

Passo 3

Interpretação da decomposição:
  • O termo n-1 cresce sem limite quando n\to\infty.
  • O termo \dfrac{1}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty.
Portanto, por intuição, a_n = n-1 + \dfrac{1}{n+1} deve crescer sem limite (porque a parte dominante é n-1).

Passo 4

Agora faço uma prova rigorosa de que a_n diverge para +\infty. Primeiro lembro a definição usada: dizer que a_n\to+\infty significa que para todo número real M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale a_n>M.
Usarei a desigualdade simples
a_n = n-1 + \frac{1}{n+1} \ge n-1,
pois \dfrac{1}{n+1}>0 para todo n.
Dado um M>0, escolha
N=\lceil M\rceil + 2,
onde \lceil M\rceil é o menor inteiro maior ou igual a M. Então
N-1=\lceil M\rceil +1 \ge M+1 > M.
Para todo n\ge N temos n-1\ge N-1 > M. Como a_n\ge n-1, segue que para todo n\ge N vale a_n>M. Isso satisfaz a definição de a_n\to+\infty.

Passo 5

Conclusão e interpretação prática: a sequência não converge para nenhum número real finito; na verdade ela diverge para +\infty. Em termos intuitivos, a_n cresce aproximadamente como n (mais precisamente como n-1), então fica arbitrariamente grande quando n aumenta.
Força aí — essa é fácil de visualizar: o quadrado no numerador vence o +1 no denominador, fazendo a sequência explodir para cima.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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