Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
x^{2}=4 y no plano x y, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana no plano xy definida por
x^{2}=4y,
e pede a equação da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo x. As informações relevantes que temos:
  • A curva é a parábola com equação \,x^{2}=4y, i.e. \,y=\dfrac{x^{2}}{4}, que está inteiramente no semi-plano y\ge 0.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
    O que se pede:
  • Encontrar a equação (em x,y,z) da superfície de revolução gerada por essa rotação.
  • Fazer um esboço/descrição geométrica da superfície.

Passo 2

Ideia do método (sem calcular ainda, só explicando a ferramenta): quando uma curva do plano xy é girada em torno do eixo x, cada ponto (x,y,0) da curva gera uma circunferência cujo centro está sobre o eixo x e cujo raio é a distância do ponto ao eixo x. A distância de um ponto (x,y,z) qualquer ao eixo x é o raio circular
\rho=\sqrt{y^{2}+z^{2}}.
Assim, ao rotacionar a curva original, a nova superfície satisfará que essa distância \rho vale o valor de y da curva original (o qual é não negativo). Em fórmulas: a relação entre x e \rho na superfície será a mesma que entre x e y na curva original.

Passo 3

Aplicando a ideia: da curva original temos
y=\dfrac{x^{2}}{4}.
Ao rotacionar, o ponto (x,y,0) com esse y gera pontos (x,y',z') com
\sqrt{y'^{2}+z'^{2}}=y=\dfrac{x^{2}}{4}.
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • x é a coordenada ao longo do eixo de rotação (permanece igual após a rotação).
  • \sqrt{y'^{2}+z'^{2}} é a distância de um ponto qualquer da superfície ao eixo x.
  • \dfrac{x^{2}}{4} é a distância original do ponto da parábola ao eixo x (peguei isso da equação da curva).

Passo 4

Eliminação da raiz para obter a equação explícita em x,y,z. Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos a equação da superfície:
y^{2}+z^{2}=\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)^{2}=\dfrac{x^{4}}{16}.
Essa é a equação que relaciona x,y,z e representa toda a superfície de revolução.

Passo 5

Parâmetros e interpretação geométrica didática (útil para esboço): uma parametrização natural dessa superfície é
\bigl(x,\;y,\;z\bigr)=\left(x,\;\dfrac{x^{2}}{4}\cos\theta,\;\dfrac{x^{2}}{4}\sin\theta\right),
com x\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Aqui:
  • x varre a parábola original,
  • \theta descreve a rotação ao redor do eixo x.
    Para um x fixo a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio \dfrac{x^{2}}{4}. Exemplos simples: se x=0 o raio é 0 (vértice na origem); se x=2 o raio é \dfrac{2^{2}}{4}=1, etc.

Passo 6

Descrição do esboço e forma da superfície (como desenhar rápido na prova):
  • A superfície tem vértice na origem (0,0,0).
  • É simétrica em relação ao plano x=0 e em relação ao próprio eixo x (ou seja, depende de x^{2}, então pares x e -x têm a mesma seção circular).
  • Para cada plano x= constante a interseção é um círculo de raio \dfrac{x^{2}}{4}.
  • Em uma vista lateral (plano yz fixando x), aparece um círculo; em uma vista xz ou xy (com z=0 ou y=0) a curva de perfil é a parábola original refletida (por exemplo em z=0 a interseção é y=\pm \dfrac{x^{2}}{4} quando considerada a superfície completa).
  • Visualmente é uma superfície que se abre à medida que |x| aumenta, com crescimento do raio proporcional a x^{2}.

Resposta

y^{2}+z^{2}=\dfrac{x^{4}}{16}

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