Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana no plano
definida por
e pede a equação da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo
. As informações relevantes que temos:
- A curva é a parábola com equação
, i.e. , que está inteiramente no semi-plano . - O eixo de rotação é o eixo
.
O que se pede: - Encontrar a equação (em
) da superfície de revolução gerada por essa rotação. - Fazer um esboço/descrição geométrica da superfície.
Passo 2
Ideia do método (sem calcular ainda, só explicando a ferramenta): quando uma curva do plano
é girada em torno do eixo
, cada ponto
da curva gera uma circunferência cujo centro está sobre o eixo
e cujo raio é a distância do ponto ao eixo
. A distância de um ponto
qualquer ao eixo
é o raio circular
Assim, ao rotacionar a curva original, a nova superfície satisfará que essa distância
vale o valor de
da curva original (o qual é não negativo). Em fórmulas: a relação entre
e
na superfície será a mesma que entre
e
na curva original.
Passo 3
Aplicando a ideia: da curva original temos
Ao rotacionar, o ponto
com esse
gera pontos
com
Aqui explico o que cada símbolo significa:
-
é a coordenada ao longo do eixo de rotação (permanece igual após a rotação). -
é a distância de um ponto qualquer da superfície ao eixo . -
é a distância original do ponto da parábola ao eixo (peguei isso da equação da curva).
Passo 4
Eliminação da raiz para obter a equação explícita em
. Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos a equação da superfície:
Essa é a equação que relaciona
e representa toda a superfície de revolução.
Passo 5
Parâmetros e interpretação geométrica didática (útil para esboço): uma parametrização natural dessa superfície é
com
e
. Aqui:
-
varre a parábola original, -
descreve a rotação ao redor do eixo .
Para umfixo a seção transversal perpendicular ao eixo é um círculo de raio . Exemplos simples: se o raio é (vértice na origem); se o raio é , etc.
Passo 6
Descrição do esboço e forma da superfície (como desenhar rápido na prova):
- A superfície tem vértice na origem
. - É simétrica em relação ao plano
e em relação ao próprio eixo (ou seja, depende de , então pares e têm a mesma seção circular). - Para cada plano
constante a interseção é um círculo de raio . - Em uma vista lateral (plano
fixando ), aparece um círculo; em uma vista ou (com ou ) a curva de perfil é a parábola original refletida (por exemplo em a interseção é quando considerada a superfície completa). - Visualmente é uma superfície que se abre à medida que
aumenta, com crescimento do raio proporcional a .