Examine a convergência das seguintes seqüências em R:
\left(\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}} e pede para examinar a convergência dessa sequência em \mathbb{R}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência é a_n=\dfrac{1}{n^{2}} para n=1,2,3,\dots.
  • Precisa-se determinar se a sequência converge em \mathbb{R} e, em caso afirmativo, qual é o limite.
  • Também serão úteis informações sobre monotonicidade e limitação (se for o caso), pois ajudam a entender o comportamento.

Passo 2

Definição de convergência (ferramenta que vamos usar rigorosamente):
\text{A sequência }(a_n)\text{ converge para }L\in\mathbb{R}\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N,\\ |a_n-L|<\varepsilon.ê
Aqui a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Nosso objetivo é encontrar L e, para esse L, mostrar a condição acima.

Passo 3

Intuição e candidato ao limite:
  • Os termos \dfrac{1}{n^{2}} são positivos e, conforme n cresce, o denominador cresce muito (quadraticamente), logo os termos parecem ir para 0.
  • Assim o candidato natural para o limite é L=0.

Passo 4

Prova rigorosa usando a definição \varepsilon- N (mostrar que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0):
Seja \varepsilon>0 dado. Queremos N tal que, para todo n\ge N,
\left|\dfrac{1}{n^{2}}-0\right|=\dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon.
A desigualdade \dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon é equivalente a n^{2}>\dfrac{1}{\varepsilon}, isto é,
n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Escolha qualquer N\in\mathbb{N} satisfazendo
N>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Então, para todo n\ge N vale n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, logo n^{2}>\dfrac{1}{\varepsilon} e assim \dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon. Isso mostra que para esse N a condição \varepsilon- N é satisfeita. Portanto
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
Observação prática: em provas costuma-se tomar N=\left\lfloor\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right\rfloor+1, assim N é um natural e satisfaz N>1/\sqrt{\varepsilon}.

Passo 5

Propriedades adicionais (úteis na prova e na compreensão):
  1. Monotonicidade:
    Mostra-se que a sequência é decrescente a partir de n=1. Para n\ge1,
\dfrac{1}{(n+1)^{2}}<\dfrac{1}{n^{2}}
porque (n+1)^{2}>n^{2}. Logo (a_n) é estritamente decrescente.
  1. Limitação (boundedness):
    Para todo n\ge1 temos 0<\dfrac{1}{n^{2}}\le 1. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1. Em particular, é limitada.
  2. Consequência prática:
    Uma sequência limitada e monótona (aqui decrescente) converge — esse é um teorema clássico — e o limite deve ser o ínfimo dos termos; neste caso o ínfimo é 0, em concordância com a prova \varepsilon- N.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
  • Se \varepsilon=0,01, então 1/\sqrt{\varepsilon}=10. Tomando N=11 (por exemplo), para todo n\ge 11 temos \dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{11^{2}}=\dfrac{1}{121}\approx0,00826<0,01. Isso mostra de forma concreta como escolher N.

Passo 7

Consequências finais e resumo didático:
  • A sequência tende a 0; a prova \varepsilon- N acima é a maneira padrão e rigorosa de demonstrar isso.
  • Além disso, a sequência é positiva, estritamente decrescente e limitada (por 0 e 1), o que reforça o resultado intuitivo.
  • Como consequência, a sequência é de Cauchy (em \mathbb{R} toda sequência convergente é Cauchy).

Resposta

A sequência converge em \mathbb{R} e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0. Além disso, é estritamente decrescente e limitada ( 0<\dfrac{1}{n^{2}}\le 1 ).

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