Examine a convergência das seguintes seqüências em R: \left(\frac{1}{n^{2}}\right)
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}} e pede para examinar a convergência dessa sequência em \mathbb{R}.
Informações dadas e o que é pedido:
A sequência é a_n=\dfrac{1}{n^{2}} para n=1,2,3,\dots.
Precisa-se determinar se a sequência converge em \mathbb{R} e, em caso afirmativo, qual é o limite.
Também serão úteis informações sobre monotonicidade e limitação (se for o caso), pois ajudam a entender o comportamento.
Passo 2
Definição de convergência (ferramenta que vamos usar rigorosamente):
\text{A sequência }(a_n)\text{ converge para }L\in\mathbb{R}\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N,\\ |a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Nosso objetivo é encontrar L e, para esse L, mostrar a condição acima.
Passo 3
Intuição e candidato ao limite:
Os termos \dfrac{1}{n^{2}} são positivos e, conforme n cresce, o denominador cresce muito (quadraticamente), logo os termos parecem ir para 0.
Assim o candidato natural para o limite é L=0.
Passo 4
Prova rigorosa usando a definição \varepsilon-N (mostrar que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0):
Seja \varepsilon>0 dado. Queremos N tal que, para todo n\ge N,
A desigualdade \dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon é equivalente a n^{2}>\dfrac{1}{\varepsilon}, isto é,
n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Escolha qualquer N\in\mathbb{N} satisfazendo
N>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Então, para todo n\ge N vale n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, logo n^{2}>\dfrac{1}{\varepsilon} e assim \dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon. Isso mostra que para esse N a condição \varepsilon-N é satisfeita. Portanto
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
Observação prática: em provas costuma-se tomar N=\left\lfloor\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right\rfloor+1, assim N é um natural e satisfaz N>1/\sqrt{\varepsilon}.
Passo 5
Propriedades adicionais (úteis na prova e na compreensão):
Monotonicidade:
Mostra-se que a sequência é decrescente a partir de n=1. Para n\ge1,
\dfrac{1}{(n+1)^{2}}<\dfrac{1}{n^{2}}
porque (n+1)^{2}>n^{2}. Logo (a_n) é estritamente decrescente.
Limitação (boundedness):
Para todo n\ge1 temos 0<\dfrac{1}{n^{2}}\le 1. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1. Em particular, é limitada.
Consequência prática:
Uma sequência limitada e monótona (aqui decrescente) converge — esse é um teorema clássico — e o limite deve ser o ínfimo dos termos; neste caso o ínfimo é 0, em concordância com a prova \varepsilon-N.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
Se \varepsilon=0,01, então 1/\sqrt{\varepsilon}=10. Tomando N=11 (por exemplo), para todo n\ge 11 temos \dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{11^{2}}=\dfrac{1}{121}\approx0,00826<0,01. Isso mostra de forma concreta como escolher N.
Passo 7
Consequências finais e resumo didático:
A sequência tende a 0; a prova \varepsilon-N acima é a maneira padrão e rigorosa de demonstrar isso.
Além disso, a sequência é positiva, estritamente decrescente e limitada (por 0 e 1), o que reforça o resultado intuitivo.
Como consequência, a sequência é de Cauchy (em \mathbb{R} toda sequência convergente é Cauchy).
Resposta
A sequência converge em \mathbb{R} e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0. Além disso, é estritamente decrescente e limitada ( 0<\dfrac{1}{n^{2}}\le 1 ).