Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
:
Passo 1
O enunciado dá a curva plana no plano
e pede duas coisas:
- Achar a equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo
. - Fazer um esboço (descrever como é a superfície e suas principais características).
Informações importantes que temos: a curva original está no plano
(ou seja, tem
), é uma elipse centrada na origem, e a rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Entendendo o que acontece quando giramos uma curva do plano
em torno do eixo
.
Explicação didática e intuitiva (sem pular etapas):
- Um ponto da curva no plano
tem coordenadas . - Ao girar esse ponto em torno do eixo
por um ângulo , ele descreve um círculo no plano horizontal de raio . Os pontos desse círculo têm coordenadas . - O raio desse círculo no plano
é a distância do ponto ao eixo , dada por . Para qualquer ponto da superfície obtida pela rotação, a quantidade que aparecia na equação original da curva é substituída por (porque a rotação “espalha” o valor de ao longo de e ).
Essa substituição é a regra prática para gerar a equação: substituir
por
quando se roda uma curva do plano
ao redor do eixo
.
Passo 3
Aplicando a regra à equação dada.
Começamos da equação da elipse no plano
:
Substituindo
por
obtemos a equação da superfície de revolução:
Passo 4
Interpretando e colocar em forma padrão para reconhecer o tipo de superfície.
Dividindo ambos os lados por
para ver a forma canónica:
Isso mostra que a superfície é um elipsoide de revolução em torno do eixo
: os semi-eixos são
Como
, é um elipsoide achatado nos polos (um esferoide oblato).
Passo 5
Traços, interceptos e domínio em
— isso ajuda a desenhar o esboço.
- Interseção com o plano
: . É um círculo de raio . - Interseção com planos horizontais
: . Para cada com temos um círculo de raio . - Interseção com o eixo
(quando ): . Portanto a altura do elipsoide vai de a . - Interseção com o plano
: (uma elipse no plano ), análoga à curva original mas trocando por .
Passo 6
Parametrização da superfície (útil para esboçar ou para visualização).
Uma parametrização natural usa o parâmetro
para a elipse geradora e
para o ângulo de rotação:
com
e
. Aqui
percorre a elipse no plano
(quando
) e
faz a rotação em torno de
.
Passo 7
Como fazer o esboço na prova (passo a passo prático, sem calculadora):
- Trace os pontos extremos no eixo
: e . - No plano
, desenhe o círculo de raio (pontos e ). - Entre
e , desenhe “fatias” horizontais: círculos de raio que diminuem até zero nas pontas. Ligando essas fatias obtém-se o contorno suave do elipsoide oblato. - Lembre-se da simetria em relação a
e também rotação simétrica em torno do eixo .
Resumo visual mental: um “esquimó” achatado — largo no centro (raio
) e com altura total
(de
a
).
Resposta
Esboço: elipsoide de revolução (esferoide oblato) com semi-eixos
e
, centrado na origem.