Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
x^{2}+4 z^{2}=16 no plano x z, em torno do eixo z :

Passo 1

O enunciado dá a curva plana no plano x z
x^{2}+4 z^{2}=16,
e pede duas coisas:
  • Achar a equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo z.
  • Fazer um esboço (descrever como é a superfície e suas principais características).
Informações importantes que temos: a curva original está no plano x z (ou seja, tem y=0), é uma elipse centrada na origem, e a rotação é em torno do eixo z.

Passo 2

Entendendo o que acontece quando giramos uma curva do plano x z em torno do eixo z.
Explicação didática e intuitiva (sem pular etapas):
  • Um ponto da curva no plano x z tem coordenadas (x,0,z).
  • Ao girar esse ponto em torno do eixo z por um ângulo \theta, ele descreve um círculo no plano horizontal de raio |x|. Os pontos desse círculo têm coordenadas (x\cos\theta,\;x\sin\theta,\;z).
  • O raio desse círculo no plano xy é a distância do ponto ao eixo z, dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para qualquer ponto da superfície obtida pela rotação, a quantidade x^{2} que aparecia na equação original da curva é substituída por x^{2}+y^{2} (porque a rotação “espalha” o valor de x ao longo de x e y).
Essa substituição é a regra prática para gerar a equação: substituir x^{2} por x^{2}+y^{2} quando se roda uma curva do plano x z ao redor do eixo z.

Passo 3

Aplicando a regra à equação dada.
Começamos da equação da elipse no plano x z:
x^{2}+4 z^{2}=16.
Substituindo x^{2} por x^{2}+y^{2} obtemos a equação da superfície de revolução:
x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=16.

Passo 4

Interpretando e colocar em forma padrão para reconhecer o tipo de superfície.
Dividindo ambos os lados por 16 para ver a forma canónica:
\frac{x^{2}+y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Isso mostra que a superfície é um elipsoide de revolução em torno do eixo z: os semi-eixos são
a=b=4\quad\text{(direções \(x\) e \(y\))},\qquad c=2\quad\text{(direção \(z\))}.çõçã
Como a=b>c, é um elipsoide achatado nos polos (um esferoide oblato).

Passo 5

Traços, interceptos e domínio em z — isso ajuda a desenhar o esboço.
  • Interseção com o plano z=0: \;x^{2}+y^{2}=16. É um círculo de raio 4.
  • Interseção com planos horizontais z=z_{0}: \;x^{2}+y^{2}=16-4z_{0}^{2}. Para cada z_{0} com |z_{0}|\le 2 temos um círculo de raio \sqrt{16-4z_{0}^{2}}.
  • Interseção com o eixo z (quando x=y=0): \;4z^{2}=16\Rightarrow z=\pm 2. Portanto a altura do elipsoide vai de z=-2 a z=2.
  • Interseção com o plano x=0: \;y^{2}+4z^{2}=16 (uma elipse no plano y z), análoga à curva original mas trocando x por y.

Passo 6

Parametrização da superfície (útil para esboçar ou para visualização).
Uma parametrização natural usa o parâmetro u para a elipse geradora e \theta para o ângulo de rotação:
\begin{aligned} x(u,\theta)&=4\cos u\cos\theta,\\\ y(u,\theta)&=4\cos u\sin\theta,\\\ z(u,\theta)&=2\sin u, \end{aligned}
com u\in[0,2\pi) e \theta\in[0,2\pi). Aqui u percorre a elipse no plano x z (quando \theta=0) e \theta faz a rotação em torno de z.

Passo 7

Como fazer o esboço na prova (passo a passo prático, sem calculadora):
  1. Trace os pontos extremos no eixo z: (0,0,2) e (0,0,-2).
  2. No plano z=0, desenhe o círculo de raio 4 (pontos (\pm4,0,0) e (0,\pm4,0)).
  3. Entre z=-2 e z=2, desenhe “fatias” horizontais: círculos de raio \sqrt{16-4z^{2}} que diminuem até zero nas pontas. Ligando essas fatias obtém-se o contorno suave do elipsoide oblato.
  4. Lembre-se da simetria em relação a z=0 e também rotação simétrica em torno do eixo z.
Resumo visual mental: um “esquimó” achatado — largo no centro (raio 4) e com altura total 4 (de -2 a 2).

Resposta

x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=16
Esboço: elipsoide de revolução (esferoide oblato) com semi-eixos a=b=4 e c=2, centrado na origem.

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