Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(b) sumn=0^infty(n2 n+1)^2 n-1 x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyan x^n
com
an = l(n2n+1r)^2n-1
Para isso vamos usar o teste da raiz, que nos dá o raio de convergência a partir de
limntoinfty|an|^1/n.

Passo 2

Calculamos
an = l(n2n+1r)^2n-1 = l(n2n+1r)^2n,l(n2n+1r)^-1 = l(n2n+1r)^2n,2n+1n,
então
|an|^1/n = l(n2n+1r)^2,l(2n+1nr)^1/n ;xrightarrow[ntoinfty];14cdot1=14

Passo 3

Pelo teste da raiz, o raio de convergência é
R = 1limntoinfty|an|^1/n = 4,
logo a série converge para |x|<4.

Passo 4

Em x=4 o termo geral vale
an,4^n = l(n2n+1r)^2n-1,4^n = l(2n2n+1r)^2n,2n+1n
Como
l(2n2n+1r)^2n =l(1+tfrac12nr)^-2nto e^-1 e 2n+1nto2,
temos an4^nto2e^-1neq0, então a série diverge por o termo geral não tender a zero.

Passo 5

Em x=-4 o termo geral é (-1)^n vezes o de x=4, cujo módulo também tende a 2e^-1neq0. Assim os termos não vão a zero e a série diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=4, o intervalo de convergência é (-4,4) e em x=pm4 a série diverge.

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