Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(c) sumn=1^infty (x-2)^n(2 n-1) 2^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em x0=2:
sumn=1^infty(x-2)^n(2n-1),2^n,
e pede (i) o intervalo de convergência via raio R e (ii) o comportamento nos extremos desse intervalo. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois verificar cada extremidade.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Defina
an = (x-2)^n(2n-1),2^n
Então
|an+1an| = |x-2|^,n+1(2(n+1)-1),2^,n+1 |x-2|^,n(2n-1),2^,n = |x-2|2,2n-12n+1
Como limntoinfty2n-12n+1=1, obtemos
L ;=;limntoinfty|an+1an| = |x-2|2

Passo 3

Pelo teste da razão para séries de potências, converge se L<1 e diverge se L>1. Logo
|x-2|2<1 Long<=ftrightarrow |x-2|<2
Isto dá raio de convergência R=2 e intervalo aberto
0<x<4
Faltam agora os extremos x=0 e x=4.

Passo 4

Em x=4 temos x-2=2, de modo que a série vira
sumn=1^infty2^n(2n-1),2^n =sumn=1^infty12n-1
Essa é a soma dos inversos dos inteiros ímpares, equivalente a metade da série harmônica, logo diverge.

Passo 5

Em x=0 temos x-2=-2, e a série fica
sumn=1^infty(-2)^n(2n-1),2^n =sumn=1^infty(-1)^n2n-1
É uma série alternada cujos termos em valor absoluto 1/(2n-1) são decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=2, de modo que a série converge em
0<x<4
Nos extremos:
bul<=t Em x=0 converge (condicionalmente).
bul<=t Em x=4 diverge.

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