lim x +infty (raizx+1-raizx+3)(raizx+1+raizx+3)raizx+1+raizx+3=lim x +infty -2raizx+1+raizx+3=lim x +infty 1raizx cdot -2raiz1+1x+raiz1+3x=0 cdot(-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty(raizx+1-raizx+3)(raizx+1+raizx+3)raizx+1+raizx+3
O conteúdo principal é o cálculo de limite no infinito envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar racionalização (multiplicar pela conjugada) e fatoração de raizx.

Passo 2

Observe que o numerador já está multiplicado pela sua conjugada. Podemos simplificar diretamente:
(raizx+1-raizx+3)(raizx+1+raizx+3) =(x+1)-(x+3)=-2
Logo a expressão fica
-2raizx+1+raizx+3

Passo 3

Para ver o comportamento quando xto+infty, fatoramos raizx no denominador:
raizx+1+raizx+3 =raizx,l(raiz1+tfrac1x+raiz1+tfrac3xr)
Assim
-2raizx+1+raizx+3 =-2raizxcdot1raiz1+tfrac1x+raiz1+tfrac3x

Passo 4

Agora avaliamos o limite das duas partes separadamente quando xto+infty:
-2raizxto 0 e
1raiz1+tfrac1x+raiz1+tfrac3xto11+1=tfrac12.
Multiplicando, o produto tende a 0cdottfrac12=0.

Resposta

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