Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(d) sumn=1^infty (x-3)^nn cdot 5^n

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (x-3)^nncdot5^n
e testar a convergência nos extremos desse intervalo. O conteúdo envolvido é séries de potências, uso do teste da razão para determinar o raio de convergência e testes de convergência em pontos limites.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série
sumn=1^infty an, an = (x-3)^nn,5^n
Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x-3)^n+1/l((n+1)5^n+1r)(x-3)^n/(n5^n)| =limntoinfty|x-3|5cdotnn+1 =|x-3|5
Pela condição de convergência do teste da razão, exige-se
L<1 Longrightarrow |x-3|5<1 Longrightarrow |x-3|<5
Logo o raio de convergência é R=5.

Passo 3

O intervalo de convergência aberto é
3-5 < x < 3+5 Longrightarrow -2 < x < 8

Passo 4

Em x=8 temos
sumn=1^infty(8-3)^nn,5^n =sumn=1^infty5^nn,5^n =sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica e diverge.

Passo 5

Em x=-2 temos
sumn=1^infty(-2-3)^nn,5^n =sumn=1^infty(-5)^nn,5^n =sumn=1^infty(-1)^nn,
que é a série alternada de Leibniz e converge condicionalmente (mas não absolutamente).

Resposta

A série converge para |x-3|<5, ou seja, em -2<x<8.
Em x=-2 converge condicionalmente; em x=8 diverge.

Exercícios relacionados