Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em
e pede o intervalo de convergência e o comportamento nos extremos. Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois testar
e
separadamente.
Passo 2
Defina
Então
Fazendo
ntoinfty ,
3n+13n-2to1 e
(n+1)^2(n+2)^2to1 , logo
Pela Razão, converge se
|x-3|2<1 .
Passo 3
Da condição
|x-3|2<1 obtemos
Ou seja, o raio de convergência é
R=2 e a convergência absoluta se dá para
xin(1,5) .
Passo 4
Teste em
x=1colon
aíx-3=-2 e a série fica
aí
É uma série alternante com termo geral
Note que
limntoinftybn=0 e, como o denominador cresce como
n^2 e o numerador como
n ,
bn é eventualmente decrescente. Pelo Teste de Leibniz ela converge (condicionalmente, pois
sum bn diverge por comparação com
1/n ).
Passo 5
Teste em
x=5colon
aíx-3=2 e a série fica
aí
Os termos são positivos e, para
n grande,
de modo que a série diverge por comparação limite com
sum1/n .
Resposta
O raio de convergência é
R=2 , isto é, a série converge para
converge condicionalmente em
x=1 e diverge em
x=5 . Portanto o intervalo de convergência é