Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(e) sumn=0^infty (3 n-2)(n+1)^2 2^n+1(x-3)^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=3
sumn=0^infty3n-2(n+1)^2,2^,n+1,(x-3)^n
e pede o intervalo de convergência e o comportamento nos extremos. Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois testar x=1 e x=5 separadamente.

Passo 2

Defina
an=3n-2(n+1)^2,2^,n+1,(x-3)^n
Então
|an+1an| =3(n+1)-2(n+2)^2,2^,n+2;(n+1)^2,2^,n+13n-2;l|x-3r| =3n+13n-2,(n+1)^2(n+2)^2,|x-3|2
Fazendo ntoinfty, 3n+13n-2to1 e (n+1)^2(n+2)^2to1, logo
limntoinfty|an+1an| =|x-3|2
Pela Razão, converge se |x-3|2<1.

Passo 3

Da condição |x-3|2<1 obtemos
|x-3|<2 Longrightarrow 1<x<5
Ou seja, o raio de convergência é R=2 e a convergência absoluta se dá para xin(1,5).

Passo 4

Teste em x=1colon
x-3=-2 e a série fica
sumn=0^infty 3n-2(n+1)^2,2^,n+1(-2)^n =sumn=0^infty (-1)^n,3n-22,(n+1)^2
É uma série alternante com termo geral
bn=3n-22,(n+1)^2>0
Note que limntoinftybn=0 e, como o denominador cresce como n^2 e o numerador como n, bn é eventualmente decrescente. Pelo Teste de Leibniz ela converge (condicionalmente, pois sum bn diverge por comparação com 1/n).

Passo 5

Teste em x=5colon
x-3=2 e a série fica
sumn=0^infty 3n-2(n+1)^2,2^,n+1,2^n =sumn=0^infty 3n-22,(n+1)^2
Os termos são positivos e, para n grande,
3n-22,(n+1)^2sim32n,
de modo que a série diverge por comparação limite com sum1/n.

Resposta

O raio de convergência é R=2, isto é, a série converge para
1<x<5,
converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=5. Portanto o intervalo de convergência é
[1,5)

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