Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(f) sumn=1^infty (x+3)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(x+3)^nn^2
e depois que a gente teste o que acontece exatamente nos extremos desse intervalo. Para isso vamos usar o critério da raiz para achar o raio de convergência e em seguida verificar a convergência em x=-4 e em x=-2.

Passo 2

Aplicamos o critério da raiz: seja
an=(x+3)^nn^2
Então
raiz[n]lvert anrvert =raiz[n]lvert x+3rvert^nn^2 =lvert x+3rvertraiz[n]n^2
e como limntoinftyraiz[n]n^2=1, obtemos
limntoinftyraiz[n]lvert anrvert =lvert x+3rvert
A série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, lvert x+3rvert<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

A condição lvert x+3rvert<1 equivale a
-1<x+3<1 Long<=ftrightarrow -4<x<-2
Portanto, em princípio, a série converge para xin(-4,-2). Agora precisamos testar x=-4 e x=-2.

Passo 4

Para x=-2 temos (x+3)=1, então a série vira
sumn=1^infty1^nn^2 =sumn=1^infty1n^2,
que é uma série p- com p=2>1. Logo converge.

Passo 5

Para x=-4 temos (x+3)=-1, então a série vira
sumn=1^infty(-1)^nn^2
Essa também é uma série absolutamente convergente (pois sum1/n^2 converge), então converge também em x=-4.

Resposta

A série converge para
xin[-4,,-2]

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