Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
e depois que a gente teste o que acontece exatamente nos extremos desse intervalo. Para isso vamos usar o critério da raiz para achar o raio de convergência e em seguida verificar a convergência em
e em
.
Passo 2
Aplicamos o critério da raiz: seja
Então
e como
, obtemos
A série converge se esse limite for menor que 1, ou seja,
. Logo o raio de convergência é
Passo 3
A condição
equivale a
Portanto, em princípio, a série converge para
. Agora precisamos testar
e
.
Passo 4
Para
temos
, então a série vira
que é uma série
- com
. Logo converge.
Passo 5
Para
temos
, então a série vira
Essa também é uma série absolutamente convergente (pois
converge), então converge também em
.
Resposta
A série converge para