Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(g) sumn=1^infty 2^n-1 x^2 n-1(4 n-3)^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o comportamento nos extremos da série de potências
sumn=1^infty2^n-1,x^2n-1(4n-3)^2
Vamos identificar o raio de convergência usando o teste da raiz e depois testar x=pm1/raiz2.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz na sequência de termos
an(x)=2^n-1,x^2n-1(4n-3)^2
Calculamos
limntoinftyl|an(x)r|^1/n =limntoinfty(2^n-1)^1/n,|x|^(2n-1)/n(4n-3)^2/n =2;|x|^2cdot1 =2,|x|^2
Para convergir pelo teste da raiz precisamos de
2,|x|^2<1 Long<=ftrightarrow |x|^2<12 Long<=ftrightarrow |x|<1raiz2

Passo 3

Concluímos que o raio de convergência é
R=1raiz2,
e o intervalo aberto de convergência é
l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 4

Agora testamos o extremo x=1/raiz2. Neste caso
x^2n-1=l(1raiz2r)^2n-1 =raiz22^n,
logo o termo geral vira
2^n-1(4n-3)^2;raiz22^n =raiz22;1(4n-3)^2
e a série se comporta como sum1/(4n-3)^2, que converge (p-série com p=2). Portanto converge em x=1/raiz2.

Passo 5

Para x=-1/raiz2 temos
(-1)^2n-1=-1, l|xr|^2n-1=raiz22^n,
e o termo geral é
2^n-1(4n-3)^2;-raiz22^n =-raiz22;1(4n-3)^2
De novo é comparável a 1/(4n-3)^2, converge absolutamente. Logo converge também em x=-1/raiz2.

Resposta

O intervalo de convergência é
l[-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r],
e a série converge em ambos os extremos.

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