Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o comportamento nos extremos da série de potências
Vamos identificar o raio de convergência usando o teste da raiz e depois testar
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz na sequência de termos
Calculamos
Para convergir pelo teste da raiz precisamos de
Passo 3
Concluímos que o raio de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
Passo 4
Agora testamos o extremo
x=1/raiz2 . Neste caso
logo o termo geral vira
e a série se comporta como
sum1/(4n-3)^2 , que converge (p-série com
p=2 ). Portanto converge em
x=1/raiz2 .
Passo 5
Para
x=-1/raiz2 temos
e o termo geral é
De novo é comparável a
1/(4n-3)^2 , converge absolutamente. Logo converge também em
x=-1/raiz2 .
Resposta
O intervalo de convergência é
e a série converge em ambos os extremos.