Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(h) sumn=0^infty 3^n^2 x^n^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty3^n^2x^n^2
e o comportamento nos extremos. O conteúdo aqui é determinação do raio de convergência via critério da raiz e, em seguida, teste nos pontos de fronteira.

Passo 2

Aplicamos o critério da raiz: definimos
an = 3^n^2x^n^2
e calculamos
L ;=;limntoinftyraiz[n]l|anr| ;=;limntoinftyraiz[n]3^n^2,|x|^n^2 ;=;limntoinftyl(3,|x|r)^n
Se 3|x|<1 então l(3|x|r)^nto0; se 3|x|>1 então l(3|x|r)^ntoinfty; e se 3|x|=1 fica l(3|x|r)^n=1.

Passo 3

Pelo critério da raiz:
  • Convergência absoluta se L<1, isto é, 3|x|<1Rightarrow|x|<tfrac13.
  • Divergência se L>1, isto é, |x|>tfrac13.
    Logo o raio de convergência é R=tfrac13 e o intervalo de convergência é
(-tfrac13,;tfrac13)

Passo 4

Teste em x=tfrac13:
o termo geral fica
3^n^2l(tfrac13r)^n^2 =l(3cdottfrac13r)^n^2 =1^n^2 =1
Como os termos não tendem a zero, a série diverge em x=tfrac13.

Passo 5

Teste em x=-tfrac13:
o termo geral fica
3^n^2l(-tfrac13r)^n^2 =(-1)^n^2,(3cdottfrac13)^n^2 =(-1)^n^2
Aqui os termos oscilam entre 1 e -1 e não tendem a zero, logo a série também diverge em x=-tfrac13.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-tfrac13,tfrac13r),
e nos extremos x=pmtfrac13 a série diverge.

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