Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(h)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
e o comportamento nos extremos. O conteúdo aqui é determinação do raio de convergência via critério da raiz e, em seguida, teste nos pontos de fronteira.
Passo 2
Aplicamos o critério da raiz: definimos
e calculamos
Se 3|x|<1 então l(3|x|r)^nto0; se 3|x|>1 então l(3|x|r)^ntoinfty; e se 3|x|=1 fica l(3|x|r)^n=1.
Passo 3
Pelo critério da raiz:
Convergência absoluta se L<1, isto é, 3|x|<1Rightarrow|x|<tfrac13.
Divergência se L>1, isto é, |x|>tfrac13.
Logo o raio de convergência é R=tfrac13 e o intervalo de convergência é