Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(i)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série de funções
e determinar para quais valores de ela converge. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (root test) para séries de termos , seguido do estudo dos casos extremos .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz para calcular
Se lvert xrvert<1, então (n-1)!toinfty faz
L=limntoinftylvert xrvert^(n-1)!=0<1,
logo a série converge absolutamente. Se lvert xrvert>1, então
L=limntoinftylvert xrvert^(n-1)!=+infty>1,
logo a série diverge. Para lvert xrvert=1, o teste da raiz dá L=1 e é inconclusivo, então investigamos esses casos separadamente.
Passo 3
Caso x=1. A série fica
sumn=1^infty1^n!=sumn=1^infty1,
que é a soma infinita de 1, portanto diverge.
Passo 4
Caso x=-1. Os termos são
(-1)^n!
Para n>=2, n! é par, daí (-1)^n!=1. Logo a série é
(-1)^1!+1+1+1+cdots = -1 + sumn=2^infty 1,
e como sumn=2^infty1 diverge, a série também diverge.