Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(i) sumn=1^infty 12 n cdot 4^n(x+5)^3 n-1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 12,ncdot4^n(x+5)^3n-1
e testar a convergência nos extremos. O conteúdo é séries de potências com centro em -5 e vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois analisar cada extremidade.

Passo 2

Definimos t = x+5. A série fica
sumn=1^infty an,com an = t^3n-12,n,4^n
Para aplicar o teste da raiz, observamos
|an|^1/n = l|t^3n-1r|^1/n/(2,n)^1/n/4 = |t|^3 - 1/n4,(2,n)^-1/n
Quando ntoinfty, temos (2n)^-1/nto1 e 3-1/nto3.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
limntoinfty|an|^1/n<1 Longrightarrow |t|^34<1 Longrightarrow |t|^3<4 Longrightarrow |t|<raiz[3]4

Passo 4

Voltando a x, isso significa
|x+5|<raiz[3]4 Longrightarrow -5-raiz[3]4<x<-5+raiz[3]4
Esse é o intervalo aberto de convergência. Faltam agora os testes em x=-5pmraiz[3]4.

Passo 5

Em x = -5 + raiz[3]4 temos t = raiz[3]4. Então
an = l(raiz[3]4r)^3n-12,n,4^n = 4^n - 1/32,n,4^n = 4^-1/32,n sim constanten
Essa série é comparável à harmônica e, portanto, diverge.

Passo 6

Em x = -5 - raiz[3]4 temos t = -raiz[3]4. Então
t^3n-1 = (-raiz[3]4)^3n-1 = (-1)^3n-14^n-1/3 =(-1)^n+14^,n-1/3
e
an = (-1)^n+14^,n-1/32,n,4^n = (-1)^n+1,4^-1/32,n
É uma série alternada com termos de magnitude 4^-1/32n que decrescem a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge (mas não absolutamente).

Resposta

O intervalo de convergência é
-5-raiz[3]4 < x < -5+raiz[3]4
Em x=-5+raiz[3]4 a série diverge e em x=-5-raiz[3]4 ela converge condicionalmente.

Exercícios relacionados