Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(l) sumn=1^infty(-1)^n-1 (x-2)^2 n2 n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência e testar a convergência em seus extremos da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-1,(x-2)^2n2n
O conteúdo é séries de potências; vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois o teste da série alternante nos extremos.

Passo 2

Reescrevemos a série em termos de
t=(x-2)^2,
ficando
sumn=1^infty(-1)^n-1,t^n2n
Aplicamos o teste da razão a an =(-1)^n-1t^n/(2n):
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|t|^n+1/[2(n+1)]|t|^n/[2n] =limntoinfty|t|nn+1 =|t|
Para convergência absoluta é preciso |t|<1.

Passo 3

A condição |t|<1 equivale a
|(x-2)^2|<1 Long<=ftrightarrow |x-2|<1
Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo aberto de convergência é
1<x<3

Passo 4

Nos extremos x=1 ou x=3 temos (x-2)^2=1, de modo que a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1,12n
Este é uma série alternante cujos termos 12n são decrescentes e tendem a zero. Pelo teste da série alternante de Leibniz, ela converge. Como
sumn=1^infty12n
é a série harmônica multiplicada por tfrac12 e diverge, a convergência em x=1 e x=3 é apenas condicional.

Resposta

O intervalo de convergência é
1<= x<= 3,
com convergência absoluta para 1<x<3 e convergência condicional nos extremos x=1 e x=3.

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