Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(l)
(l)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência e testar a convergência em seus extremos da série de potências
O conteúdo é séries de potências; vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois o teste da série alternante nos extremos.
Passo 2
Reescrevemos a série em termos de
ficando
Aplicamos o teste da razão a
:
Para convergência absoluta é preciso
|t|<1 .
Passo 3
A condição
|t|<1 equivale a
Logo o raio de convergência é
R=1 e o intervalo aberto de convergência é
Passo 4
Nos extremos
x=1 ou
x=3 temos
(x-2)^2=1 , de modo que a série vira
Este é uma série alternante cujos termos
12n são decrescentes e tendem a zero. Pelo teste da série alternante de Leibniz, ela converge. Como
é a série harmônica multiplicada por
tfrac12 e diverge, a convergência em
x=1 e
x=3 é apenas condicional.
Resposta
O intervalo de convergência é
com convergência absoluta para
1<x<3 e convergência condicional nos extremos
x=1 e
x=3 .