Exzrcicio 1.13. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
(a) x+x^22+x^33+cdots+x^nn^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede para achar a soma da série
S(x)=x+x^22+x^33+cdots+x^nn+cdots,
para |x|<1, usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo aqui é séries de potências e as operações de derivar e integrar término a termo.

Passo 2

Definimos
S(x)=sumn=1^inftyx^nn
Como |x|<1, podemos derivar termo a termo:
S'(x)=sumn=1^inftyddxl(x^nnr) =sumn=1^inftyx^n-1 =sumk=0^inftyx^k =11-x

Passo 3

Agora integramos S'(x) para recuperar S(x). Temos
integral S'(x),dx=integral11-x,dx=-lnl(1-xr)+C
Como S(0)=0 (a soma da série em x=0 é zero), segue que C=0. Logo
S(x)=-lnl(1-xr)

Resposta

x+x^22+x^33+cdots+x^nn+cdots =-lnl(1-xr), |x|<1

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