Supondo que
seja um intciro positivo ímpar, determinar os possíveis valores para o
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir quais são os possíveis valores do máximo divisor comum (mdc) entre as expressões
e
, sabendo que
é um número inteiro positivo e ímpar. Para resolver isso, vamos usar um método bem legal da matemática chamado Algoritmo de Euclides, que é super útil para encontrar o mdc entre dois números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o mdc. O máximo divisor comum entre dois números é o maior número que divide os dois sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Algoritmo de Euclides nas expressões
e
. O Algoritmo de Euclides nos diz que o mdc de dois números também é o mdc do menor número e da diferença entre os dois números. Então, vamos calcular a diferença entre
e
:
Passo 4
Isso significa que:
Agora, queremos descobrir o mdc entre
e 4.
Passo 5
Vamos analisar
. Sabemos que
é ímpar. Multiplicando um ímpar por 7 continua dando um número ímpar. Então,
é ímpar. Adicionando 2 a um número ímpar, usamos uma paridade (impar + par = impar). Portanto,
é um número ímpar.
Passo 6
Agora, sabemos que o mdc de
(que é ímpar) e 4 deve ser um divisor de 4. Os divisores de 4 são 1, 2 e 4. Mas, já que
é ímpar, ele não pode ser dividido por 2 ou 4, que são números pares.
Passo 7
Portanto, a única possibilidade que resta é que o mdc seja 1.
Resposta
O máximo divisor comum é sempre igual a 1.