Supondo que n seja um intciro positivo ímpar, determinar os possíveis valores para o m d c(7 n+2,7 n+6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir quais são os possíveis valores do máximo divisor comum (mdc) entre as expressões 7n + 2 e 7n + 6, sabendo que n é um número inteiro positivo e ímpar. Para resolver isso, vamos usar um método bem legal da matemática chamado Algoritmo de Euclides, que é super útil para encontrar o mdc entre dois números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o mdc. O máximo divisor comum entre dois números é o maior número que divide os dois sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Algoritmo de Euclides nas expressões 7n + 2 e 7n + 6. O Algoritmo de Euclides nos diz que o mdc de dois números também é o mdc do menor número e da diferença entre os dois números. Então, vamos calcular a diferença entre 7n + 6 e 7n + 2:
(7n + 6) - (7n + 2) = 4

Passo 4

Isso significa que:
mdc(7n + 2, 7n + 6) = mdc(7n + 2, 4)
Agora, queremos descobrir o mdc entre 7n + 2 e 4.

Passo 5

Vamos analisar 7n + 2. Sabemos que n é ímpar. Multiplicando um ímpar por 7 continua dando um número ímpar. Então, 7n é ímpar. Adicionando 2 a um número ímpar, usamos uma paridade (impar + par = impar). Portanto, 7n + 2 é um número ímpar.

Passo 6

Agora, sabemos que o mdc de 7n + 2 (que é ímpar) e 4 deve ser um divisor de 4. Os divisores de 4 são 1, 2 e 4. Mas, já que 7n + 2 é ímpar, ele não pode ser dividido por 2 ou 4, que são números pares.

Passo 7

Portanto, a única possibilidade que resta é que o mdc seja 1.

Resposta

O máximo divisor comum é sempre igual a 1.

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