Exatamente metade das observações em uma amostra cairá abaixo da média?

Passo 1

O enunciado pergunta se em qualquer amostra de tamanho n sempre cai exatamente metade dos valores abaixo da média amostral. O conteúdo envolvido é a diferença entre média e mediana e o fato de que a média não é um quantil. Para resolver, vamos revisar a definição de média amostral e comparar com a mediana, depois dar um contraexemplo.

Passo 2

A média amostral é dada por
bar x ;=;1nsumi=1^n xi
Já a mediana tilde x é um valor tal que pelo menos metade das observações é menor ou igual a tilde x e pelo menos metade é maior ou igual a tilde x. Por construção a mediana divide a amostra em duas partes de tamanho (quase) igual. A média, porém, é um centro de massa e não é definida para dividir o conjunto ao meio.

Passo 3

Para ver que não cai necessariamente metade das observações abaixo de bar x, basta um contraexemplo simples. Considere a amostra de tamanho n=3:
x1=1, x2=2, x3=3
A média é
bar x = 1+2+33 = 2
Das três observações, apenas x1=1 é estritamente menor que bar x. Logo, só 1 de 3 está abaixo de bar x, ou seja, 1/3 da amostra, e não 1/2.

Passo 4

O único caso em que a média divide exatamente a amostra ao meio é quando a distribuição ou os dados são simétricos em torno da média, pois aí média e mediana coincidem. Em geral, porém, a média é influenciada por valores extremos e não garante que 50 % dos xi fiquem abaixo dela.

Resposta

Não; somente em casos de simetria da distribuição (quando média = mediana) é que exatamente metade das observações cai abaixo da média.

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