Exatamente metade das observações em uma amostra cairá abaixo da média?
Passo 1
O enunciado pergunta se em qualquer amostra de tamanho
sempre cai exatamente metade dos valores abaixo da média amostral. O conteúdo envolvido é a diferença entre média e mediana e o fato de que a média não é um quantil. Para resolver, vamos revisar a definição de média amostral e comparar com a mediana, depois dar um contraexemplo.
Passo 2
A média amostral é dada por
Já a mediana
é um valor tal que pelo menos metade das observações é menor ou igual a
e pelo menos metade é maior ou igual a
. Por construção a mediana divide a amostra em duas partes de tamanho (quase) igual. A média, porém, é um centro de massa e não é definida para dividir o conjunto ao meio.
Passo 3
Para ver que não cai necessariamente metade das observações abaixo de
, basta um contraexemplo simples. Considere a amostra de tamanho
:
A média é
Das três observações, apenas
é estritamente menor que
. Logo, só
de
está abaixo de
, ou seja,
da amostra, e não
.
Passo 4
O único caso em que a média divide exatamente a amostra ao meio é quando a distribuição ou os dados são simétricos em torno da média, pois aí média e mediana coincidem. Em geral, porém, a média é influenciada por valores extremos e não garante que
% dos
fiquem abaixo dela.
Resposta
Não; somente em casos de simetria da distribuição (quando média
mediana) é que exatamente metade das observações cai abaixo da média.