A média da amostra sempre corresponderá a uma das observações na amostra?

Passo 1

O enunciado pergunta se a média amostral sempre coincide com uma das observações coletadas. O conteúdo envolve definição e propriedades da média de uma amostra, e precisamos usar a fórmula da média e analisar condições para que ela seja igual a algum xj.

Passo 2

Definimos a média amostral de n observações x1,x2,dots,xn por
barx ;=; 1nsumi=1^nxi
Essa é uma combinação linear de todas as observações.

Passo 3

Queremos saber quando barx coincide com uma observação qualquer xj. Isso exige
barx = xj Longrightarrow 1nsumi=1^nxi = xj Longrightarrow sumi=1^nxi = n,xj
Reescrevendo,
sumineq j(xi - xj) = 0
Na prática, só ocorre em situações especiais, pois exige que os desvios das outras observações em relação a xj se anulem exatamente.

Passo 4

Vejamos exemplos numéricos:
  • Com x1=1,;x2=2,;x3=3 temos barx = 1+2+33 = 2, e 2 está na amostra.
  • Porém, com x1=1,;x2=2,;x3=4 temos barx = 1+2+43 = 73approx 2,33, que não coincide com nenhum dos dados 1,2,4.

Passo 5

Concluímos que, em geral, barx não precisa ser um dos valores observados. Apenas em casos especiais — por exemplo, quando todos os xi são iguais ou há simetria exata que faz os desvios se cancelarem — a média coincide com uma observação.

Resposta

Não. A média amostral só corresponderá a alguma observação em casos particulares (por exemplo, todos os valores iguais ou simetria exata); no caso geral barx não coincide com nenhum xj.

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