Exe 3.
O tempo, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó, durante o período de um ano, é a variável aleatória X, cuja função de distribuição acumulada é dada ao lado.
F(x)=ll 0, & 0<x <= 1 ; x^2 / 2, & 0 <= x <= 1 ; 2 x-x^2 / 2-1 & 1 <= x <= 2 ; 1, & x >= 2
(a) Calcule a probabilidade da família usar o aspirador de pó por mais de 120 horas em um ano. Mostre os cálculos em detalhes.
(b) Calcule o tempo médio de uso do aspirador de pó por ano. Mostre os cálculos em detalhes.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória
Precisamos calcular
(a) a probabilidade de uso superior a 120 horas,
(b) o valor esperado (E(X)].]

Passo 2

Como X está em unidades de 100 horas, 120 horas correspondem a
x=120100=1,2

Passo 3

A probabilidade pedida é
P(X>1,2)=1-F(1,2)
Como 1,2 está no intervalo 1<= x<=2,
F(1,2)=2cdot1,2-(1,2)^22-1 =2,4-1,442-1 =2,4-0,72-1 =0,68

Passo 4

Portanto,
P(X>1,2)=1-0,68=0,32

Passo 5

Para calcular E(X), derivamos F para obter a densidade f(x)=F'(x). Temos
f(x)= x, & 0<= x<=1;[4pt] 2-x, &1<= x<=2;[4pt] 0, & caso contrário á]

Passo 6

O valor esperado é
E(X)=integral0^2x,f(x),dx =integral0^1xcdot x,dx+integral1^2x,(2-x),dx

Passo 7

Calculando cada parte:
integral0^1x^2,dx =[x^33]0^1 =13,
integral1^2(2x-x^2),dx =[x^2-x^33]1^2 =(4-tfrac83)-(1-tfrac13) =43-23 =23

Passo 8

Somando,
E(X)=13+23=1
Em unidades de 100 horas, isso equivale a 1times100=100 horas por ano.

Resposta

(a) 0,32.
(b) 100 horas.

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