EXEMPLO1 Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k} do ponto (1,0,0) até o ponto (1,0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k},
e pede o comprimento do arco dessa hélice entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2\pi).
Informações relevantes dadas (peguei os pontos da figura/enunciado):
  • Ponto inicial: (1,0,0).
  • Ponto final: (1,0,2\pi).
  • A curva está dada pela parametrização \mathbf{r}(t) acima.

Passo 2

Qual é a ferramenta que usamos aqui? Para curvas no espaço, o comprimento do arco entre dois parâmetros a e b é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • \mathbf{r}(t) é a posição no espaço para cada valor de t.
  • \mathbf{r}'(t) é a velocidade vetorial da curva (derivada componente a componente).
  • \|\mathbf{r}'(t)\| é a velocidade escalar (o comprimento do vetor velocidade) — isso representa o comprimento “instântaneo” do pedaço de curva por unidade de t.
  • Integrando \|\mathbf{r}'(t)\| de a até b somamos todos esses pedacinhos infinitesimais de comprimento e obtemos o comprimento total do arco.

Passo 3

Calculamos a derivada componente a componente. Derivando \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k} temos:
\mathbf{r}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
Comentário didático rápido:
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
  • A derivada de t é 1.

Passo 4

Agora calculamos a norma (comprimento) do vetor velocidade:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
Usamos a identidade trigonométrica básica \sin^2 t+\cos^2 t=1. Substituindo:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação didática: aqui a velocidade é constante (independe de t), ou seja, a hélice tem “velocidade de deslocamento” uniforme em termos do parâmetro t.

Passo 5

Precisamos dos limites de integração a e b. Pela parametrização e pelos pontos dados:
  • Para t=0 obtemos \mathbf{r}(0)=(\cos 0,\sin 0,0)=(1,0,0) (ponto inicial).
  • Para t=2\pi obtemos \mathbf{r}(2\pi)=(\cos 2\pi,\sin 2\pi,2\pi)=(1,0,2\pi) (ponto final).
    Portanto os limites são a=0 e b=2\pi. Montando a integral do comprimento:
L=\int_{0}^{2\pi}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\,dt.

Passo 6

Integramos uma constante:
L=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}dt=\sqrt{2}\,(2\pi-0)=\sqrt{2}\cdot 2\pi.

Passo 7

Interpretação geométrica (para fixar a ideia): projetando a hélice no plano xy obtém-se um círculo de raio 1 cujo comprimento por volta é 2\pi. A hélice sobe verticalmente 2\pi numa volta completa. Desenrolando a volta da hélice obtém-se um triângulo retângulo com catetos 2\pi (circunferência projetada) e 2\pi (elevação), cujo comprimento da hipotenusa é \sqrt{(2\pi)^2+(2\pi)^2}, que dá a mesma expressão para o comprimento de uma volta da hélice.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

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