EXEMPLO1 Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação
do ponto
até o ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva parametrizada
e pede o comprimento do arco dessa hélice entre os pontos
e
.
Informações relevantes dadas (peguei os pontos da figura/enunciado):
Informações relevantes dadas (peguei os pontos da figura/enunciado):
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - A curva está dada pela parametrização
acima.
Passo 2
Qual é a ferramenta que usamos aqui? Para curvas no espaço, o comprimento do arco entre dois parâmetros
e
é dado por
Explicando essa fórmula passo a passo:
-
é a posição no espaço para cada valor de . -
é a velocidade vetorial da curva (derivada componente a componente). -
é a velocidade escalar (o comprimento do vetor velocidade) — isso representa o comprimento “instântaneo” do pedaço de curva por unidade de . - Integrando
de até somamos todos esses pedacinhos infinitesimais de comprimento e obtemos o comprimento total do arco.
Passo 3
Calculamos a derivada componente a componente. Derivando
temos:
Comentário didático rápido:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 4
Agora calculamos a norma (comprimento) do vetor velocidade:
Usamos a identidade trigonométrica básica
. Substituindo:
Observação didática: aqui a velocidade é constante (independe de
), ou seja, a hélice tem “velocidade de deslocamento” uniforme em termos do parâmetro
.
Passo 5
Precisamos dos limites de integração
e
. Pela parametrização e pelos pontos dados:
- Para
obtemos (ponto inicial). - Para
obtemos (ponto final).
Portanto os limites sãoe . Montando a integral do comprimento:
Passo 6
Integramos uma constante:
Passo 7
Interpretação geométrica (para fixar a ideia): projetando a hélice no plano
obtém-se um círculo de raio
cujo comprimento por volta é
. A hélice sobe verticalmente
numa volta completa. Desenrolando a volta da hélice obtém-se um triângulo retângulo com catetos
(circunferência projetada) e
(elevação), cujo comprimento da hipotenusa é
, que dá a mesma expressão para o comprimento de uma volta da hélice.