\lim _{t \rightarrow 2}\left(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3 t+5}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{t\to 2}\left(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}\right)^{2}.
  • A expressão é um quadrado de uma razão entre duas funções polinomiais: o numerador é t^{2}-2 e o denominador é t^{3}-3t+5.
  • O ponto onde vamos avaliar o limite é t=2.

Passo 2

Principais ideias e regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Continuidade de polinômios: um polinômio p(t) é contínuo em todo ponto; isso significa que \displaystyle \lim_{t\to a} p(t)=p(a) para qualquer a.
  • Regras de limite relevantes: \text{Se } \lim_{t\to a} f(t)=L \text{ e } \lim_{t\to a} g(t)=M \text{ com } M\neq 0,\text{ então }ã
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{L}{M}.
\text{E } \lim_{t\to a} (h(t))^{2} = \bigl(\lim_{t\to a} h(t)\bigr)^{2}.
  • Então, se conseguimos avaliar \lim_{t\to 2}(t^{2}-2) e \lim_{t\to 2}(t^{3}-3t+5) e o segundo não for zero, podemos obter o limite total substituindo e elevando ao quadrado.

Passo 3

Aplicando continuidade e as regras de limite para calcular as partes:
  • Calcular o limite do numerador por substituição direta (pois t^{2}-2 é polinômio): \lim_{t\to 2}(t^{2}-2)=2^{2}-2=4-2=2.
  • Calcular o limite do denominador por substituição direta (pois t^{3}-3t+5 é polinômio): \lim_{t\to 2}(t^{3}-3t+5)=2^{3}-3\cdot 2+5=8-6+5=7.

Passo 4

Formar a razão e elevar ao quadrado:
  • A razão dos limites é \frac{\lim_{t\to 2}(t^{2}-2)}{\lim_{t\to 2}(t^{3}-3t+5)}=\frac{2}{7},e como o denominador \,7\neq 0, a divisão é válida.
  • Agora elevamos ao quadrado: \left(\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{4}{49}.

Passo 5

Interpretação final e pequeno incentivo:
  • A substituição direta funcionou porque estamos lidando com polinômios e o denominador no ponto não é zero — então a função dentro do quadrado é contínua em t=2.
  • Vai dar certo na prova: quando vir limite de polinômio ou quociente de polinômios, primeiro tente substituir; só recorra a l’Hôpital ou fatoração se der uma forma indeterminada.

Resposta

\dfrac{4}{49}

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