EXEMPL0 7 Que região de \mathbb{R}^{3} é representada pelas seguintes inequações?
1 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \quad z \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede a descrição geométrica da região em \mathbb{R}^3 definida por
1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 4 \quad\text{e}\quad z \le 0.
O conteúdo que vamos usar é a interpretação de inequações como esferas centradas na origem e semiespaço determinado por um plano.

Passo 2

A condição
x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 4
corresponde ao interior (mais a superfície) da esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 3

A condição
x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 1\nequivale ao exterior (mais a superfície) da esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Juntando as duas, temos todos os pontos cuja distância à origem está entre 1 e 2: isto é uma casca esférica fechada de raios interno 1 e externo 2.

Passo 5

Por fim, a desigualdade z \le 0 impõe que só fiquemos com a parte dessa casca que está no semiespaço inferior, abaixo (ou sobre) o plano z=0.

Resposta

É a parte inferior da casca esférica centrada na origem, com raio interno 1 e raio externo 2, ou seja,
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \le x^2+y^2+z^2 \le 4,\;z\le0\}.

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