EXEMPLO 5 Se \mathbf{a}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k} e \mathbf{b}=4 \mathbf{i}+7 \mathbf{k}, expresse o vetor 2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b} nos termos de \mathbf{i}, \mathbf{j} e \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3: \mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k} e \mathbf{b} = 4\mathbf{i} + 7\mathbf{k}.
Queremos calcular o vetor
2\mathbf{a} + 3\mathbf{b},
usando as operações de multiplicação por escalar e soma de vetores em coordenadas.

Passo 2

Calculamos primeiro 2\mathbf{a}, aplicando o escalar em cada componente de \mathbf{a}:
2\mathbf{a} = 2\bigl(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\bigr) = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}.

Passo 3

Em seguida, calculamos 3\mathbf{b}, aplicando o escalar em cada componente de \mathbf{b}:
3\mathbf{b} = 3\bigl(4\mathbf{i} + 7\mathbf{k}\bigr) = 12\mathbf{i} + 21\mathbf{k}.

Passo 4

Agora somamos 2\mathbf{a} e 3\mathbf{b} componente a componente:
2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = (2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}) + (12\mathbf{i} + 21\mathbf{k}) = 14\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 15\mathbf{k}.

Resposta

2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = 14\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 15\mathbf{k}.

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