Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
T: M2(R) P2(R) linear, tal que N(T)=[(ll1 & 0 1 & 0)] e Im(T)=[t^2, t+2,1].

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T: M2(R) to P2(R)
tal que
  • N(T)=llambda1&01&0mid lambdainRr,
  • Im(T)=spant^2,;t+2,;1
    Vamos usar o Teorema da Dimensão (posto–nulo) e construir explicitamente T.

Passo 2

Dimensões: dim M2(R)=4. As funções t^2,;t+2 e 1 são linearmente independentes em P2(R), logo diml(Im(T)r)=3. Pelo posto–nulo,
diml(N(T)r)=4-3=1,
o que bate com o enunciado. Portanto é possível existir tal T.

Passo 3

Para construir , escrevemos uma matriz genérica em :
Definimos então

Passo 4

Verificações:
  1. Imagem: pelos coeficientes vemos que
  2. Núcleo: em implica ou seja .

Resposta

Um exemplo é

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