Exemplo 02: Determine as raízes da equação característica de um circuito RLC em paralelo. A resistência e a indutância do circuito são 100 \Omega e 20 mH , respectivamente.
a) Determine o valor de C que torna a resposta de tensão criticamente amortecida.
b) Se C for ajustada para produzir uma frequência de Neper de 5 \mathrm{krad} / \mathrm{s}, determine o valor de C e as raízes da equação característica.
c) Se C for ajustada para produzir uma frequência de ressonância de 20 \mathrm{krad} / \mathrm{s}, determine o valor de C e as raízes da equação característica.

Passo 1

O circuito RLC em paralelo tem equação característica obtida a partir de
C\frac{d^2v}{dt^2} + \frac1R\frac{dv}{dt} + \frac1L\,v = 0
dividindo por C resulta
s^2 + \frac{1}{RC}\,s + \frac{1}{LC} = 0.
Comparando com a forma padrão
s^2 + 2\alpha\,s + \omega_0^2 = 0,
temos
2\alpha = \frac{1}{RC}, \qquad \omega_0^2 = \frac{1}{LC}.

Passo 2

Para amortecimento crítico exigimos \alpha = \omega_0. Logo
\frac{1}{2RC} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \;\Longrightarrow\; C = \frac{L}{4R^2}.
Com R=100\\ \Omega e L=20\text{ mH} vem
C = \frac{20\times10^{-3}}{4\,(100)^2} = 5\times10^{-7}\text{ F} = 0{,}5\\ \mu\text{F}.
Nesse caso \alpha = \omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 10^4\\ \mathrm{rad/s}, e as raízes coincidem:
s_{1,2} = -\alpha = -10\,000\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Para obter frequência de Neper \alpha = 5\,\text{krad/s} = 5\,000, usamos
\alpha = \frac{1}{2RC} \;\Longrightarrow\; C = \frac{1}{2R\,\alpha} = \frac{1}{2\cdot100\cdot5000} = 1\times10^{-6}\text{ F} = 1\\ \mu\text{F}.
Calcula-se \omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{20\times10^{-3}\cdot10^{-6}} = 7071\\ \mathrm{rad/s}.
Como \alpha<\omega_0 temos regime subamortecido com
s = -\alpha \pm j\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = -5000 \pm j\,5000\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Para frequência de ressonância tomamos \omega_0 = 20\\ \mathrm{krad/s}. Assim
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \;\Longrightarrow\; C = \frac{1}{L\,\omega_0^2} = \frac{1}{20\times10^{-3}\,(20\times10^3)^2} =1{,}25\times10^{-7}\text{ F}=0{,}125\\ \mu\text{F}.
Aqui \alpha = 1/(2RC) = 1/(2\cdot100\cdot1{,}25\times10^{-7}) = 4\times10^4.
Como \alpha>\omega_0 o regime é sobreamortecido e
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} = -40\,000 \pm \sqrt{(40\,000)^2 - (20\,000)^2}
\sqrt{(40\,000)^2 - (20\,000)^2} = \sqrt{1{,}6\times10^9 - 0{,}4\times10^9} = 34\,641
logo
s_1 = -40\,000 + 34\,641 = -5\,359\\ \mathrm{s^{-1}}, \quad s_2 = -40\,000 - 34\,641 = -74\,641\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

a) C = 0{,}5\\ \mu\text{F}, raízes duplas s = -10\,000\\ \mathrm{s^{-1}}.
b) C = 1\\ \mu\text{F},
s = -5000 \pm j\,5000\\ \mathrm{s^{-1}}.
c) C = 0{,}125\\ \mu\text{F},
s_1 = -5\,359\\ \mathrm{s^{-1}}, \quad s_2 = -74\,641\\ \mathrm{s^{-1}}.

Exercícios relacionados