Use a Regra de l’Hôpital para encontrar os limites dos exercícios.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 7 x}{\operatorname{tg} 11 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x}{\tan 11x}
usando a Regra de l’Hôpital. O conteúdo necessário é reconhecer a indeterminação do tipo 0/0 e aplicar essa regra para derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
\sin(7\cdot0)=0 e \tan(11\cdot0)=0,
logo temos 0/0, que autoriza o uso da Regra de l’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}[\sin(7x)]=7\cos(7x), \qquad \frac{d}{dx}[\tan(11x)]=11\operatorname{sec}^2(11x).
Então
\lim_{x\to0}\frac{\sin 7x}{\tan 11x} =\lim_{x\to0}\frac{7\cos(7x)}{11\operatorname{sec}^2(11x)}.

Passo 4

Como \cos(7x)\to1 e \operatorname{sec}^2(11x)=\tfrac1{\cos^2(11x)}\to1 quando x\to0, temos
\lim_{x\to0}\frac{7\cos(7x)}{11\operatorname{sec}^2(11x)} =\frac{7\cdot1}{11\cdot1} =\frac{7}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{11}

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