Use a Regra de l’Hôpital para encontrar os limites dos exercícios.
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{3 x-5}{2 x^{2}-x+2}

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra de l’Hôpital para calcular
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2}
e
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2}.
Como ambos são casos de forma \infty/\infty (no segundo, -\infty/\infty também é indeterminado), podemos aplicar l’Hôpital: derivamos numerador e denominador.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}(3x-5)=3, \quad \frac{d}{dx}(2x^2 - x +2)=4x-1.
Pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{4x-1}.
Como 4x-1\to+\infty quando x\to+\infty, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{4x-1}=0.

Passo 3

Para x\to-\infty, reaplicamos a mesma derivada, pois ainda é indeterminação:
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2} = \lim_{x\to-\infty}\frac{3}{4x-1}.
Agora 4x-1\to-\infty quando x\to-\infty, mas em qualquer caso
\frac{3}{4x-1}\longrightarrow 0.
O sinal fica negativo antes de chegar em zero, mas o valor do limite é 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2}=0 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{3x-5}{2x^2 - x +2}=0

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