Questão: (3.5 pontos)
i) (1 ponto) Verifique quais das seguintes funçōes
são soluçōes da equaçāo diferencial
(1)
ii) ( 2.5 pontos) Usando o método da reduçāo de ordem, encontre um Conjunto Fundamental de Soluções da equação (1).
i) (1 ponto) Verifique quais das seguintes funçōes
(1)
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
e pede em (i) verificar se
ou
são soluções e em (ii) usar o método de redução de ordem para obter um conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar testar cada função na equação e depois, sabendo que uma solução é
, aplicar redução de ordem para encontrar
.
Passo 2
Testando
:
,
. Substituindo na equação:
logo
não é solução.
Testando :
,
. Substituindo:
Testando
logo
é solução.
Passo 3
Como já temos
, usamos redução de ordem assumindo
Então
Substituindo em
dá
Dividindo por
(para
):
Passo 4
Defina
. Então
Esta é linear de primeira ordem com solução
Integrando,
Escolhendo
e
(basta uma solução independente), obtemos
Portanto o conjunto fundamental de soluções é
.
Resposta
i) Apenas
é solução da equação dada;
não satisfaz a equação.
ii) Um conjunto fundamental de soluções é