1^{a} Questão: (3.5 pontos)
i) (1 ponto) Verifique quais das seguintes funçōes
Y_{1}(x)=\ln (x) \text { ou } Y_{2}(x)=x
são soluçōes da equaçāo diferencial
(1)
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
ii) ( 2.5 pontos) Usando o método da reduçāo de ordem, encontre um Conjunto Fundamental de Soluções da equação (1).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
x^{2}y''-x\,y'+y=0
e pede em (i) verificar se Y_{1}(x)=\ln(x) ou Y_{2}(x)=x são soluções e em (ii) usar o método de redução de ordem para obter um conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar testar cada função na equação e depois, sabendo que uma solução é y_{1}(x)=x, aplicar redução de ordem para encontrar y_{2}(x).

Passo 2

Testando Y_{1}(x)=\ln(x):
\;Y_{1}'=\frac{1}{x}, \;Y_{1}''=-\frac{1}{x^{2}}. Substituindo na equação:
x^{2}\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)-x\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)+\ln(x) =\ln(x)-2\neq0,
logo Y_{1} não é solução.
Testando Y_{2}(x)=x:
\;Y_{2}'=1, \;Y_{2}''=0. Substituindo:
x^{2}\cdot0 - x\cdot1 + x = -x + x = 0,
logo Y_{2}(x)=x é solução.

Passo 3

Como já temos y_{1}(x)=x, usamos redução de ordem assumindo
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)\,x.
Então
y_{2}' = v'\,x + v,\quad y_{2}'' = v''\,x + 2v'.
Substituindo em x^{2}y''-x\,y'+y=0
x^{2}(v''x+2v') - x(v'x+v) + v\,x = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3}v'' + x^{2}v' - x^{2}v' = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3}v'' + x^{2}v' = 0.
Dividindo por x^{2} (para x\neq0):
x\,v'' + v' = 0.

Passo 4

Defina u=v'. Então
x\,\frac{du}{dx} + u = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{du}{dx} + \frac{1}{x}u = 0.
Esta é linear de primeira ordem com solução
u(x)=\frac{C}{x}.
Integrando,
v(x)=\int u(x)\,dx = C\ln(x) + D.
Escolhendo C=1 e D=0 (basta uma solução independente), obtemos
y_{2}(x)=x\,\ln(x).
Portanto o conjunto fundamental de soluções é \{\,x,\;x\ln(x)\}.

Resposta

i) Apenas Y_{2}(x)=x é solução da equação dada; Y_{1}(x)=\ln(x) não satisfaz a equação.
ii) Um conjunto fundamental de soluções é
\{\,x,\;x\ln(x)\}.

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