Exemplo 02: Determine as raízes da equação característica de um circuito RLC em série. A resistência e a indutância do circuito são 200 \Omega e 40 mH , respectivamente.
a) Determine o valor de C que torna a resposta de tensão criticamente amortecida.
b) Se C for ajustada para produzir uma frequência de Neper de 10 \mathrm{krad} / \mathrm{s}, determine o valor de C e as raízes da equação característica.
c) Se C for ajustada para produzir uma frequência de ressonância de 20 \mathrm{krad} / \mathrm{s}, determine o valor de C e as raízes da equação característica.

Passo 1

O circuito série RLC tem equação característica
s^{2} + \frac{R}{L}\,s + \frac{1}{L\,C} \;=\;0.
Aqui R=200\\ \Omega, L=40\\ \mathrm{mH}=0{,}04\\ \mathrm{H}.
Definimos a frequência de amortecimento (frequência de Neper)
\alpha = \frac{R}{2\,L}
e a frequência natural não amortecida
\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
As raízes são
s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}}.

Passo 2

Para amortecimento crítico precisamos de discriminante zero, isto é
\alpha^{2} = \omega_{0}^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{R^{2}}{4\,L^{2}} = \frac{1}{L\,C} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{4\,L}{R^{2}}.
Substituindo L=0{,}04 e R=200:
C = \frac{4 \times 0{,}04}{200^{2}} = \frac{0{,}16}{40000} = 4\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

Nesse caso \alpha = \tfrac{200}{2\cdot0{,}04}=2500\\ \mathrm{s^{-1}} e como \alpha^{2}=\omega_{0}^{2} as raízes coincidem:
s_{1}=s_{2}=-\alpha = -2500\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Para produzir uma frequência de Neper de 10\\ \mathrm{krad/s} precisaríamos de
\alpha = 10000\\ \mathrm{s^{-1}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{2L}=10000.
Mas R e L são dados e isso fixa \alpha=2500\\ \mathrm{s^{-1}}. Logo não há nenhum valor de C que altere \alpha; a frequência de Neper independe de C.

Passo 5

Para que a frequência de ressonância (natural) seja 20\\ \mathrm{krad/s}, impomos
\omega_{0} = 20000\\ \mathrm{s^{-1}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{L\,C}} = 20000 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{L\,(20000)^{2}}.
Com L=0{,}04:
C = \frac{1}{0{,}04\cdot(2\cdot10^{4})^{2}} = \frac{1}{0{,}04\cdot4\times10^{8}} =6{,}25\times10^{-8}\\ \mathrm{F} =62{,}5\\ \mathrm{nF}.
Mantendo \alpha=2500, as raízes ficam sobamortecidas:
s_{1,2} = -2500 \pm j\sqrt{(20000)^{2} - (2500)^{2}} = -2500 \pm j\,19843\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

a) C=4\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, raízes duplas s=-2500\\ \mathrm{s^{-1}}.
b) Não existe C que altere \alpha; a frequência de Neper é fixa em 2500\\ \mathrm{s^{-1}}.
c) C=6{,}25\times10^{-8}\\ \mathrm{F}, raízes s=-2500\pm j\,19843\\ \mathrm{s^{-1}}.

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