Exemplo 07: Determine o valor da expressão \left(2^{n}+2^{n-1}\right) \cdot\left(3^{n}-3^{n-1}\right), para todo n.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\bigl(2^{n}+2^{n-1}\bigr)\,\bigl(3^{n}-3^{n-1}\bigr)
usando propriedades de potências. Vamos usar o fato de que, para quaisquer inteiros n,
a^n + a^{n-1} = a^{n-1}(a+1) \quad\text{e}\quad b^n - b^{n-1} = b^{n-1}(b-1).

Passo 2

Aplicando essa ideia ao primeiro fator, temos
2^{n}+2^{n-1} = 2^{n-1}\,(2+1) = 3\cdot 2^{n-1}.

Passo 3

Do mesmo modo, no segundo fator:
3^{n}-3^{n-1} = 3^{n-1}\,(3-1) = 2\cdot 3^{n-1}.

Passo 4

Agora multiplicamos os dois resultados:
\bigl(3\cdot 2^{n-1}\bigr)\,\bigl(2\cdot 3^{n-1}\bigr) = (3\cdot2)\,\bigl(2^{n-1}\cdot3^{n-1}\bigr) =6\;\bigl(2\cdot3\bigr)^{\,n-1} =6\cdot6^{\,n-1} =6^{\,n}.

Resposta

6^{n}

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