EXEMPLO 6 Determine o versor do vetor 2 \mathbf{i}-\mathbf{j}-2 \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \mathbf{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}-2\mathbf{k} e pede seu versor. O versor (ou vetor unitário) de \mathbf{v}\neq\mathbf{0} é dado por
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Calculamos o módulo de \mathbf{v} usando a fórmula \|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} para \mathbf{v}=(a,b,c):
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.

Passo 3

Agora dividimos \mathbf{v} por seu módulo para obter o versor:
\mathbf{u} =\frac{1}{3}\bigl(2\mathbf{i}-\mathbf{j}-2\mathbf{k}\bigr) =\frac{2}{3}\mathbf{i}-\frac{1}{3}\mathbf{j}-\frac{2}{3}\mathbf{k}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\mathbf{i}-\frac{1}{3}\mathbf{j}-\frac{2}{3}\mathbf{k}

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