Resolva o problema de valor inicial
\begin{aligned} & y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0 \\\ & y(0)=-1 \\\ & y^{\prime}(0)=2 \end{aligned}

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4\,y' + 13\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 2.
O conteúdo necessário é: resolver a equação característica para obter as raízes complexas, montar a solução geral e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y = e^{r x}:
r^2 - 4r + 13 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36<0,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3\,i.

Passo 3

Para raízes r = \alpha \pm \beta i a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha=2 e \beta=3, então
y(x) = e^{2x}\bigl(A\cos(3x) + B\sin(3x)\bigr).

Passo 4

Usamos y(0) = -1. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0) = e^{0}\bigl(A\cos0 + B\sin0\bigr) = A = -1.
Logo A = -1.

Passo 5

Precisamos de y'(x). Derivando
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[e^{2x}\bigl(A\cos(3x)+B\sin(3x)\bigr)\Bigr] = e^{2x}\bigl[(2A+3B)\cos(3x) + (2B-3A)\sin(3x)\bigr].
Em x=0 temos
y'(0) = (2A + 3B) = 2.
Substituindo A=-1:
2(-1) + 3B = 2 \quad\Longrightarrow\quad -2 + 3B = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3B = 4 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{4}{3}.

Passo 6

Com A=-1 e B=\tfrac{4}{3}, a solução particular fica
y(x) = e^{2x}\Bigl(-\cos(3x) + \tfrac{4}{3}\sin(3x)\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{2x}\Bigl(-\cos(3x) + \tfrac{4}{3}\sin(3x)\Bigr).

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