Exemplo 13

Determine a equação cartesiana da reta r_{2} que passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à reta r_{1}: x+3 y=1.

Solução.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana da reta r_{2} que passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à reta r_{1}: x+3y=1.
Informações dadas:
  • Uma reta r_{1} com equação x+3y=1.
  • Um ponto pelo qual r_{2} passa: (1,2).
  • Quer-se a equação cartesiana de r_{2}.

Passo 2

Vamos extrair o coeficiente angular (inclinação) da reta r_{1}. Para isso escrevemos r_{1} na forma y=mx+b. Partindo de
x+3y=1
isolamos y:
3y=1-x
y=-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}.
Portanto o coeficiente angular de r_{1} é \displaystyle m_{1}=-\tfrac{1}{3}.
Breve explicação didática: o coeficiente angular m numa equação y=mx+b indica quanto a variável y varia quando aumentamos x em uma unidade — é a “inclinação” da reta.

Passo 3

Propriedade importante: se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares m_{1} e m_{2} satisfazem
m_{1}\,m_{2}=-1.
Uma forma de ver por que isso é verdade: um vetor diretor de uma reta de inclinação m é (1,m). Dois vetores são ortogonais (retas perpendiculares) quando seu produto escalar é zero, ou seja 1\cdot 1 + m_{1}m_{2}=0, daí m_{2}=-1/m_{1}. Em palavras: o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do recíproco do outro.

Passo 4

Aplicando essa relação ao nosso caso:
m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{-\tfrac{1}{3}}=3.
Logo a reta r_{2} tem coeficiente angular \displaystyle m_{2}=3.

Passo 5

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta que passa por (x_{0},y_{0}) com coeficiente angular m:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo (x_{0},y_{0})=(1,2) e m=3:
y-2=3(x-1).
Desenvolvendo:
y-2=3x-3
y=3x-1.

Passo 6

Colocando em forma cartesiana padrão (todos os termos do mesmo lado, igual a zero):
3x-y-1=0.
Verificações rápidas (para ficar seguro na prova):
  • O ponto (1,2) satisfaz 3(1)-2-1=0, ok.
  • Produto dos coeficientes angulares: \left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot 3=-1, logo as retas são realmente perpendiculares.

Resposta

3x-y-1=0

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