Exemplo 13
Determine a equação cartesiana da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Solução.
Passo 1
O enunciado pede a equação cartesiana da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Informações dadas:
- Uma reta
com equação . - Um ponto pelo qual
passa: . - Quer-se a equação cartesiana de
.
Passo 2
Vamos extrair o coeficiente angular (inclinação) da reta
. Para isso escrevemos
na forma
. Partindo de
isolamos
:
Portanto o coeficiente angular de
é
.
Breve explicação didática: o coeficiente angular
numa equação
indica quanto a variável
varia quando aumentamos
em uma unidade — é a “inclinação” da reta.
Passo 3
Propriedade importante: se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares
e
satisfazem
Uma forma de ver por que isso é verdade: um vetor diretor de uma reta de inclinação
é
. Dois vetores são ortogonais (retas perpendiculares) quando seu produto escalar é zero, ou seja
, daí
. Em palavras: o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do recíproco do outro.
Passo 4
Aplicando essa relação ao nosso caso:
Logo a reta
tem coeficiente angular
.
Passo 5
Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta que passa por
com coeficiente angular
:
Substituindo
e
:
Desenvolvendo:
Passo 6
Colocando em forma cartesiana padrão (todos os termos do mesmo lado, igual a zero):
Verificações rápidas (para ficar seguro na prova):
- O ponto
satisfaz , ok. - Produto dos coeficientes angulares:
, logo as retas são realmente perpendiculares.