Exemplo (11)
Um tetraedro tem volume igual a 3 u.v. Sendo , e , determine o vértice que pertence ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a coordenada do vértice de um tetraedro que está no eixo . Sabemos que o volume desse tetraedro é igual a 3 unidades de volume.
Matéria envolvida: Geometria espacial, especificamente o cálculo de volume de tetraedros usando determinantes de matrizes.
O que vamos precisar:
Fórmula para o volume de um tetraedro em termos de coordenadas dos vértices.
Conhecimento básico de álgebra para resolver equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume de um tetraedro dado por quatro pontos , , e :
Essa fórmula utiliza o determinante de uma matriz 4x4 formada pelas coordenadas dos vértices.
Passo 3
Sabemos que o ponto D está no eixo Ox , o que significa que suas coordenadas são D(xD, 0, 0) , já que no eixo Ox as coordenadas y e z são zero.
Portanto, yD = 0 e zD = 0 .
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula do volume. Dado que o volume V = 3 , temos:
No entanto, ao observar que as últimas duas colunas das matrizes menores têm zeros, muitos termos vão se anular. Simplificando, o determinante final resulta em:
Como o ponto D está no eixo Ox e estamos trabalhando em um espaço tridimensional padrão, normalmente consideramos coordenadas positivas no Ox . Portanto, xD = 4 é a solução mais adequada.