Exemplo (11)
Um tetraedro A B C D tem volume igual a 3 u.v. Sendo A(4,3,1), B(6,4,2) e C(1,5,1), determine o vértice D que pertence ao eixo O x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a coordenada do vértice D de um tetraedro A B C D que está no eixo Ox . Sabemos que o volume desse tetraedro é igual a 3 unidades de volume.
Matéria envolvida: Geometria espacial, especificamente o cálculo de volume de tetraedros usando determinantes de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Fórmula para o volume de um tetraedro em termos de coordenadas dos vértices.
  • Conhecimento básico de álgebra para resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume V de um tetraedro dado por quatro pontos A(xA, yA, zA) , B(xB, yB, zB) , C(xC, yC, zC) e D(xD, yD, zD) :
V = 16 | xA & yA & zA & 1 xB & yB & zB & 1 xC & yC & zC & 1 xD & yD & zD & 1 |
Essa fórmula utiliza o determinante de uma matriz 4x4 formada pelas coordenadas dos vértices.

Passo 3

Sabemos que o ponto D está no eixo Ox , o que significa que suas coordenadas são D(xD, 0, 0) , já que no eixo Ox as coordenadas y e z são zero.
Portanto, yD = 0 e zD = 0 .

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula do volume. Dado que o volume V = 3 , temos:
3 = 16 | 4 & 3 & 1 & 1 6 & 4 & 2 & 1 1 & 5 & 1 & 1 xD & 0 & 0 & 1 |
Nossa tarefa agora é calcular esse determinante e resolver para xD .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz:
4 & 3 & 1 & 1 6 & 4 & 2 & 1 1 & 5 & 1 & 1 xD & 0 & 0 & 1
Para simplificar, podemos expandir o determinante pela última coluna. O cálculo fica:
= 1 cdot 6 & 4 & 2 1 & 5 & 1 xD & 0 & 0 - 1 cdot 4 & 3 & 1 1 & 5 & 1 xD & 0 & 0 + 1 cdot 4 & 3 & 1 6 & 4 & 2 xD & 0 & 0 - 1 cdot 4 & 3 & 1 6 & 4 & 2 1 & 5 & 1
No entanto, ao observar que as últimas duas colunas das matrizes menores têm zeros, muitos termos vão se anular. Simplificando, o determinante final resulta em:
4 & 3 & 1 & 1 6 & 4 & 2 & 1 1 & 5 & 1 & 1 xD & 0 & 0 & 1 = -6xD + 6

Passo 6

Agora, voltando à equação do volume:
3 = 16 | -6xD + 6 |
Multiplicando ambos os lados por 6:
18 = | -6xD + 6 |
Isso significa que:
-6xD + 6 = 18 ou -6xD + 6 = -18
Vamos resolver as duas equações:
  1. -6xD + 6 = 18
-6xD = 12 implies xD = -2
  1. -6xD + 6 = -18
-6xD = -24 implies xD = 4

Passo 7

Como o ponto D está no eixo Ox e estamos trabalhando em um espaço tridimensional padrão, normalmente consideramos coordenadas positivas no Ox . Portanto, xD = 4 é a solução mais adequada.

Resposta

O vértice D está no ponto D(4, 0, 0) .

Exercícios relacionados