Sejam e . Determine um vetor que satisfaça as seguintes condições: , e .
R.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Precisamos encontrar um terceiro vetor, , que satisfaça três condições:
O produto escalar de com a soma de e é igual a 9.
O produto escalar de com é igual a 12.
O produto vetorial de com é igual ao vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial. Precisamos também resolver um sistema de equações para encontrar as componentes de .
Passo 2
Primeiro, vamos definir como . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as três condições dadas.
Passo 3
Vamos começar com a primeira condição:
Primeiro, somamos e :
Agora, calculamos o produto escalar com :
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Vamos para a segunda condição:
Calculando o produto escalar:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Agora, a terceira condição envolve o produto vetorial: