Sejam u=(1,1,-1) e v=(2,-1,2). Determine um vetor w que satisfaça as seguintes condições: w cdot(u+v)=9, u cdot w=12 e w times v=(7,-14,-14).
R.: w=(4,5,-3)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, u = (1, 1, -1) e v = (2, -1, 2). Precisamos encontrar um terceiro vetor, w, que satisfaça três condições:
  1. O produto escalar de w com a soma de u e v é igual a 9.
  2. O produto escalar de u com w é igual a 12.
  3. O produto vetorial de w com v é igual ao vetor (7, -14, -14).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial. Precisamos também resolver um sistema de equações para encontrar as componentes de w.

Passo 2

Primeiro, vamos definir w como w = (x, y, z). Nosso objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem as três condições dadas.

Passo 3

Vamos começar com a primeira condição:
w cdot (u + v) = 9
Primeiro, somamos u e v:
u + v = (1+2, 1+(-1), -1+2) = (3, 0, 1)
Agora, calculamos o produto escalar com w:
w cdot (3, 0, 1) = 3x + 0y + 1z = 3x + z = 9
Isso nos dá a primeira equação:
3x + z = 9 (Equação 1) çã

Passo 4

Vamos para a segunda condição:
u cdot w = 12
Calculando o produto escalar:
(1, 1, -1) cdot (x, y, z) = 1x + 1y + (-1)z = x + y - z = 12
Isso nos dá a segunda equação:
x + y - z = 12 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora, a terceira condição envolve o produto vetorial:
w times v = (7, -14, -14)
Calculamos o produto vetorial w times v:
w times v = i & j & k x & y & z 2 & -1 & 2 = ( y cdot 2 - z cdot (-1), z cdot 2 - x cdot 2, x cdot (-1) - y cdot 2 )
Simplificando:
(y cdot 2 + z) = 7 (z cdot 2 - 2x) = -14 (-x - 2y) = -14
Isso nos dá mais três equações:
2y + z = 7 (Equação 3) 2z - 2x = -14 (Equação 4) -x - 2y = -14 (Equação 5) çãçãçã

Passo 6

Agora temos um sistema de cinco equações:
  1. 3x + z = 9
  2. x + y - z = 12
  3. 2y + z = 7
  4. 2z - 2x = -14
  5. -x - 2y = -14
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da Equação 3:
2y + z = 7 Rightarrow z = 7 - 2y
Agora, substituímos z na Equação 1:
3x + (7 - 2y) = 9 Rightarrow 3x - 2y = 2 (Equação 6) çã
Também substituímos z na Equação 2:
x + y - (7 - 2y) = 12 Rightarrow x + y - 7 + 2y = 12 Rightarrow x + 3y = 19 (Equação 7) çã
E na Equação 4:
2(7 - 2y) - 2x = -14 Rightarrow 14 - 4y - 2x = -14 Rightarrow -2x - 4y = -28 Rightarrow x + 2y = 14 (Equação 8) çã
Agora, temos:
  • Equação 6: 3x - 2y = 2
  • Equação 7: x + 3y = 19
  • Equação 8: x + 2y = 14
Vamos resolver Equação 8 para x:
x = 14 - 2y
Substituímos x na Equação 7:
(14 - 2y) + 3y = 19 Rightarrow 14 + y = 19 Rightarrow y = 5
Agora, encontramos y = 5. Substituímos de volta para encontrar x:
x = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4
Finalmente, substituímos y = 5 na expressão para z:
z = 7 - 2(5) = 7 - 10 = -3

Resposta

Portanto, o vetor w que satisfaz todas as condições é:
w = (4, 5, -3)

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