1. EXEMPLO 2.12 - Os passageiros chegam ao balcão de check-in a uma taxa igual a 450 passageiros/h. Qual é a probabilidade de 0 , 1 , 2 , 3 e 4 ou mais passageiros chegarem ao longo de um período de 15 segundos se o padrão de chegada pode ser descrito usando a distribuição de Poisson?

Passo 1

O enunciado diz que os passageiros chegam segundo um processo de Poisson com taxa de chegada de 450 passageiros por hora. Queremos a probabilidade de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e “4 ou mais” chegadas num intervalo de 15 segundos. O que vamos usar é a distribuição de Poisson, em que
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}\,,
sendo \lambda o valor médio de chegadas no intervalo considerado.

Passo 2

Convertendo a taxa para o intervalo de 15 s:
a taxa por segundo é
\frac{450}{3600}=0,125\quad\text{passageiros/s},
logo em 15 s temos
\lambda = 0,125\times 15 = 1,875.

Passo 3

A fórmula geral para X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) é
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}.

Passo 4

Calculemos P(X=0) e P(X=1) substituindo \lambda=1,875:
P(X=0)=e^{-1,875}\,\frac{1,875^0}{0!} =e^{-1,875}\approx 0,1534,
P(X=1)=e^{-1,875}\,\frac{1,875^1}{1!} =e^{-1,875}\times1,875\approx 0,2875.

Passo 5

Agora P(X=2) e P(X=3):
P(X=2)=e^{-1,875}\,\frac{1,875^2}{2!} \approx 0,2696,
P(X=3)=e^{-1,875}\,\frac{1,875^3}{3!} \approx 0,1685.

Passo 6

Para “4 ou mais” usamos
P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}P(X=k) =1-\bigl(0,1534+0,2875+0,2696+0,1685\bigr) \approx 0,1210.

Resposta

P(X=0)=0,1534 P(X=1)=0,2875 P(X=2)=0,2696 P(X=3)=0,1685 P(X\ge4)=0,1210

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