Exemplo 15. Suponha que um projétil seja disparado a uma altura yo do chão, fazendo um ângulo de \alpha radianos com a horizontal e a uma velocidade (escalar) inicial de v_{0}. Desprezando a resistência do ar, suponha que a única força atuando seja a gravidade. Determine o vetor posição do projétil.

Passo 1

O enunciado pede o vetor posição de um projétil lançado de uma altura y_0 com velocidade inicial escalar v_0 sob um ângulo \alpha em relação à horizontal, desprezando a resistência do ar e considerando apenas a gravidade. O conteúdo envolvido é cinemática vetorial de movimento uniformemente acelerado: vamos decompor vetorialmente as grandezas, integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo x é horizontal e o eixo y vertical, com origem no ponto de lançamento.
O vetor aceleração é constante e dado por
\mathbf{a} = (0)\,\mathbf{i} + (-g)\,\mathbf{j}.
A velocidade inicial \mathbf{v}(0) se decompõe em
\mathbf{v}(0) = v_0\cos(\alpha)\,\mathbf{i} + v_0\sin(\alpha)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Integrando o vetor aceleração em função do tempo e usando \mathbf{v}(0) como condição inicial, obtemos a velocidade
\mathbf{v}(t) = \int \mathbf{a}\,dt = \bigl(0\cdot t + v_0\cos(\alpha)\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(-g\,t + v_0\sin(\alpha)\bigr)\,\mathbf{j}
ou seja,
\mathbf{v}(t) = v_0\cos(\alpha)\,\mathbf{i} + \bigl(v_0\sin(\alpha) - g\,t\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Agora integramos \mathbf{v}(t) e usamos a posição inicial \mathbf{r}(0)=0\,\mathbf{i} + y_0\,\mathbf{j} para achar o vetor posição:
\mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t)\,dt = \bigl(v_0\cos(\alpha)\,t + 0\bigr)\,\mathbf{i} + \Bigl(v_0\sin(\alpha)\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2 + y_0\Bigr)\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{r}(t) = \bigl(v_0\cos(\alpha)\,t\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(y_0 + v_0\sin(\alpha)\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2\bigr)\,\mathbf{j}.

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