Exemplo 16. Encontre o comprimento de um arco da ciclóide:
in
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da ciclóide definida por
com
variando em
. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva parametrizada, usando a fórmula
Passo 2
Vamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 3
Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando fica
Usando a identidade
, temos
Em
vale
, logo o integrando é
.
Passo 4
O comprimento é
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
até
, então
Resposta
O comprimento da arco da ciclóide em
é
.