Exemplo 16. Encontre o comprimento de um arco da ciclóide: x=t-\operatorname{sen}(t), y= 1-\cos (t), \operatorname{com} t in [0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da ciclóide definida por
x(t)=t-\sin(t),\quad y(t)=1-\cos(t),
com t variando em [0,2\pi]. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva parametrizada, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t).
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t-\sin(t)\bigr)=1-\cos(t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos(t)\bigr)=\sin(t).

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando fica
\sqrt{\bigl(1-\cos(t)\bigr)^{2}+\bigl(\sin(t)\bigr)^{2}} =\sqrt{1-2\cos(t)+\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)} =\sqrt{2-2\cos(t)}.
Usando a identidade 1-\cos(t)=2\sin^{2}\bigl(\tfrac t2\bigr), temos
\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{4\sin^{2}\bigl(\tfrac t2\bigr)}=2\bigl|\sin\bigl(\tfrac t2\bigr)\bigr|.
Em [0,2\pi] vale \sin\bigl(\tfrac t2\bigr)\ge0, logo o integrando é 2\sin\bigl(\tfrac t2\bigr).

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi}2\sin\bigl(\tfrac t2\bigr)\,dt.
Fazendo a substituição u=\tfrac t2, dt=2\,du, os limites vão de u=0 até u=\pi, então
L=2\int_{0}^{2\pi}\sin\bigl(\tfrac t2\bigr)\,dt =2\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,2\,du =4\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du =4\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} =4\bigl(-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr) =4\bigl(1+1\bigr) =8.

Resposta

O comprimento da arco da ciclóide em [0,2\pi] é 8.

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