Exemplo 17. Calcule o comprimento da hélice r(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), t) para t \in[0, T]. Solução: …

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da hélice parametrizada por
r(t) = \bigl(2\cos(t),\,2\operatorname{sen}(t),\,t\bigr)
no intervalo t\in[0,T].
O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas, e vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Calcular r'(t). Derivando componente a componente, obtemos
r'(t) = \bigl(-2\operatorname{sen}(t),\,2\cos(t),\,1\bigr).
Em seguida, computamos a norma:
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-2\operatorname{sen}(t))^2 + (2\cos(t))^2 + (1)^2} = \sqrt{4\operatorname{sen}^2(t) + 4\cos^2(t) + 1}.

Passo 3

Simplificar a expressão dentro da raiz usando \operatorname{sen}^2(t)+\cos^2(t)=1:
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{4\cdot1 + 1} = \sqrt{5}.
Como a velocidade é constante, o comprimento de arco fica
L = \int_{0}^{T} \sqrt{5}\,dt.

Passo 4

Avaliar o integral de constante:
L = \sqrt{5}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{T} = \sqrt{5}\,T.

Resposta

\displaystyle \sqrt{5}\,T

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