Questão 3:(7 pts) (a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo de
no domínio
. Vamos usar cálculo diferencial para obter:
– Derivada primeira para monotonicidade e extremos locais.
– Derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
– Comportamento em e
para esboçar o gráfico.
– Derivada primeira para monotonicidade e extremos locais.
– Derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
– Comportamento em
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Para achar pontos críticos, resolvemos
Multiplicando por
:
cuja solução é
No domínio
só vale
.
Analisando o sinal de :
– Se , por exemplo
, tem
.
– Se , por exemplo
, tem
.
Logo decresce em
e cresce em
, com mínimo local em
e
Analisando o sinal de
– Se
– Se
Logo
Passo 3
Agora a derivada segunda:
Como
para todo
, a curva é sempre côncava para cima e não há ponto de inflexão.
Passo 4
Combinando tudo:
– Quando ,
e
.
– Há um único mínimo em .
– Para ,
.
– A curva é sempre côncava para cima.
O esboço mostra uma “U” deslocada, decrescendo de até
e subindo para
.
– Quando
– Há um único mínimo em
– Para
– A curva é sempre côncava para cima.
O esboço mostra uma “U” deslocada, decrescendo de
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.
(b) Há mínimo local em ; não há máximo local.
(c) A função é côncava para cima em todo o domínio ; não há ponto de inflexão.
(d) O gráfico parte de em
, desce até
e sobe para
com concavidade para cima.
(b) Há mínimo local em
(c) A função é côncava para cima em todo o domínio
(d) O gráfico parte de