Questão 3:(7 pts) (a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
y=x^{2}-x-\ln x

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo de
y = x^{2} - x - \ln x
no domínio x>0. Vamos usar cálculo diferencial para obter:
– Derivada primeira para monotonicidade e extremos locais.
– Derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
– Comportamento em x\to0^+ e x\to\infty para esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x-\ln x\bigr) = 2x - 1 - \frac{1}{x}.
Para achar pontos críticos, resolvemos
2x - 1 - \frac{1}{x} = 0.
Multiplicando por x:
2x^{2} - x - 1 = 0
cuja solução é
x = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}.
No domínio x>0 só vale x=1.
Analisando o sinal de y':
– Se 0<x<1, por exemplo x=0,5, tem y'<0.
– Se x>1, por exemplo x=2, tem y'>0.
Logo y decresce em (0,1) e cresce em (1,\infty), com mínimo local em x=1 e
y(1) = 1 - 1 - \ln1 = 0.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(2x - 1 - \tfrac{1}{x}\bigr) = 2 + \frac{1}{x^{2}}.
Como 2 + 1/x^{2} > 0 para todo x>0, a curva é sempre côncava para cima e não há ponto de inflexão.

Passo 4

Combinando tudo:
– Quando x\to0^+, \ln x\to -\infty e y\to+\infty.
– Há um único mínimo em (1,0).
– Para x\to\infty, y\sim x^{2}\to+\infty.
– A curva é sempre côncava para cima.
O esboço mostra uma “U” deslocada, decrescendo de +\infty até (1,0) e subindo para +\infty.

Resposta

(a) y é decrescente em (0,1) e crescente em (1,\infty).
(b) Há mínimo local em \bigl(1,0\bigr); não há máximo local.
(c) A função é côncava para cima em todo o domínio (0,\infty); não há ponto de inflexão.
(d) O gráfico parte de +\infty em x\to0^+, desce até (1,0) e sobe para +\infty com concavidade para cima.

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