Exemplo 5.5. Vejamos mais exemplos:
Encontre a primitiva de
f(x)=12 x^{2}+6 x-4 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva F(x) de
f(x)=12x^{2}+6x-4,
isto é, achar F(x) tal que F'(x)=f(x). O conteúdo usado aqui é a regra de potência para integrais de monômios, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},
e a integral de constante, \int a\,dx = ax.

Passo 2

Integramos o termo 12x^{2} usando a regra de potência:
\int 12x^{2}\,dx = 12\int x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3} = 4x^{3}.

Passo 3

Agora o termo 6x:
\int 6x\,dx = 6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.

Passo 4

E o termo constante -4:
\int -4\,dx = -4x.

Passo 5

Somando todos os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + C.

Resposta

F(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + C.

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