Exemplo 16-2

Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
y(x, t)=0,00327 sen(72,1 x-2,72 t),
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327 m, 72,1 rad / m e 2,72 rad / s ).
(a) Qual é a amplitude da onda?

IDÉIA-CHAVE

& A Eq 16-18 é da mesma forma que a Eq 16-2, & y=ym sen(k x-omega t), é
e, portanto, temos uma onda senoidal. Comparando as duas equações, podemos determinar a amplitude.

Cálculo: Vemos que

ym=0,00327 m=3,27 m (Resposta)
(b) Quais são o comprimento de onda, o período e a freqüência da onda?
Cálculos: Comparando as Eqs. 16-18 e 16-19 vemos que o número de onda e a freqüência angular são
k=72,1 rad / m e omega=2,72 rad / s
A relação entre lambda e k é dada pela Eq. 16-5:
& lambda=2 pik=2 pi rad72,1 rad / m & =0,0871 m=8,71 cm
(Resposta)
A relação entre T e omega é dada pela Eq. 16-8:
T=2 piomega=2 pi rad2,72 rad / s=2,31 s
e, de acordo com a Eq. 16-9, temos
f=1T=12,31 s=0,433 Hz (Resposta)
(c) Qual é a velocidade da onda?
Cálculo: A velocidade da onda é dada pela Eq. 16-13:
v=omegak=2,72 rad / s72,1 rad / m=0,0377 m / s
=3,77 cm / s
(Resposta)
Como a fase da Eq. 16-18 contém a variável posição x, a onda está se propagando ao longo do eixo x. Além disso, como a equação da onda está escrita na forma da Eq. 16-2, o sinal negativo na frente do termo omega t mostra que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x. (Observe que as grandezas calculadas nos itens (b) e (c) não dependem da amplitude da onda.)
(d) Qual é o deslocamento y para x=22,5 cm e t=18,9 s ?
Cálculo: A Eq. 16-18 fornece o deslocamento em função da posição x e do tempo t. Substituindo os valores dados na equação, temos:
y & =0,00327 sen(72,1 times 0,225-2,72 times 18,9) & =(0,00327 m) sen(-35,1855 rad) & =(0,00327 m)(0,588) & =0,00192 m=1,92 mm (Resposta)
Assim, o deslocamento é positivo. (Não esqueça de mudar o modo da calculadora para radianos antes de calcular o seno.)

Passo 1

O enunciado dá a equação de uma onda viajante na corda
y(x,t)=0,00327senl(72,1,x-2,72,tr)
e pede:
– (a) amplitude;
– (b) comprimento de onda lambda, período T e frequência f;
– (c) velocidade de propagação v;
– (d) deslocamento y em x=22,5,cm e t=18,9,s.
O conteúdo envolve as relações básicas entre número de onda k, frequência angular omega e as grandezas lambda, T, f, v.

Passo 2

Para uma onda senoidal da forma
y=ymsen(kx-omega t)
o coeficiente ym é justamente a amplitude. Aqui
ym=0,00327 m

Passo 3

O número de onda é k=72,1,rad/m e a frequência angular é omega=2,72,rad/s.
1. Comprimento de onda:
lambda=2pik =2pi72,1approx0,0871 m=8,71 cm
2. Período e frequência:
T=2piomega =2pi2,72approx2,31 s, f=1Tapprox0,433 Hz

Passo 4

A velocidade de propagação de uma onda senoidal é
v=omegak =2,7272,1approx0,0377 m/s =3,77 cm/s

Passo 5

Para x=22,5,cm =0,225,m e t=18,9,s, substituímos na equação:
y=0,00327senl(72,1cdot0,225-2,72cdot18,9r) =0,00327sen(-35,1855)approx0,00327times0,588 approx0,00192 m=1,92 mm

Resposta

(a) Amplitude ym=0,00327 m.
(b) lambda=0,0871 m ( 8,71 cm), T=2,31 s, f=0,433 Hz.
(c) v=0,0377 m/s ( 3,77 cm/s).
(d) y=0,00192 m ( 1,92 mm).

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