Exemplo 18. Seja
um real. Então:
Passo 1
O enunciado dá um número real
, e afirma a equivalência
O que se pede: mostrar, com detalhes, que essas duas afirmações são equivalentes — isto é, provar as duas implicações
- se
então e ; - se
e então .
Passo 2
Entender a definição (a peça chave). Por definição, para cada
, o símbolo
representa o único número real
tal que
e
Isto é,
é a raiz quadrada “principal” de
: entre as duas raízes de
(quando
elas são
), escolhe-se a não negativa. A definição já contém duas propriedades importantes: existência/uniquidade do
e a condição
.
Passo 3
Provar a implicação direta. Suponha que
Pela definição do símbolo
(veja o passo anterior), o número à direita satisfaz exatamente as duas propriedades: ele tem quadrado igual a
e é não negativo. Logo, da hipótese segue imediatamente que
e
Esta parte é direta porque parte da definição de
.
Passo 4
Provar a implicação inversa (essa precisa de justificar unicidade). Agora suponha que
Queremos mostrar que
. Pela definição de
existe um único número
tal que
e
. Como
também satisfaz
e
, por unicidade desse número não negativo temos
. Portanto
Passo 5
Justificação elementar da unicidade (explicação alternativa para usar na prova): suponha que
e
são números reais não negativos com
. Então
Factorizando,
Como
e na verdade
salvo o caso
, a igualdade acima implica
, ou seja
. Assim não existem dois números distintos e não negativos com o mesmo quadrado; isso garante a unicidade usada no passo anterior.
Passo 6
Observação prática (dica para prova/exame): ao resolver equações envolvendo
é comum “elevar ao quadrado” ambos os lados, mas atenção — ao fazer isso pode surgir soluções extranhas se não verificar a condição de sinal. Em termos práticos, a equivalência provada diz que resolver
é equivalente a resolver
Exemplo rápido: a equação
tem à primeira vista, ao elevar ao quadrado, a solução
; mas
não é
, então não satisfaz a equivalência e não é solução. Em contraste,
dá
e
, logo
é solução válida.