Exemplo 18. Seja a \geq 0 um real. Então:
\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{b} \Leftrightarrow \mathrm{~b}^{2}=\mathrm{a} \text { e } \mathrm{b} \geq \mathbf{0} .

Passo 1

O enunciado dá um número real \,a\ge 0, e afirma a equivalência
\sqrt{a}=b \Leftrightarrow b^{2}=a \text{ e } b\ge 0.
O que se pede: mostrar, com detalhes, que essas duas afirmações são equivalentes — isto é, provar as duas implicações
  1. se \sqrt{a}=b então b^{2}=a e b\ge 0;
  2. se b^{2}=a e b\ge 0 então \sqrt{a}=b.

Passo 2

Entender a definição (a peça chave). Por definição, para cada \,a\ge 0, o símbolo \sqrt{a} representa o único número real s tal que
s^{2}=a
e
s\ge 0.
Isto é, \sqrt{a} é a raiz quadrada “principal” de a: entre as duas raízes de x^{2}=a (quando a>0 elas são \pm\sqrt{a}), escolhe-se a não negativa. A definição já contém duas propriedades importantes: existência/uniquidade do s e a condição s\ge0.

Passo 3

Provar a implicação direta. Suponha que
\sqrt{a}=b.
Pela definição do símbolo \sqrt{a} (veja o passo anterior), o número à direita satisfaz exatamente as duas propriedades: ele tem quadrado igual a a e é não negativo. Logo, da hipótese segue imediatamente que
b^{2}=a
e
b\ge 0.
Esta parte é direta porque parte da definição de \sqrt{a}.

Passo 4

Provar a implicação inversa (essa precisa de justificar unicidade). Agora suponha que
b^{2}=a\quad\text{e}\quad b\ge 0.
Queremos mostrar que b=\sqrt{a}. Pela definição de \sqrt{a} existe um único número s tal que s^{2}=a e s\ge 0. Como b também satisfaz b^{2}=a e b\ge0, por unicidade desse número não negativo temos b=s. Portanto
b=\sqrt{a}.

Passo 5

Justificação elementar da unicidade (explicação alternativa para usar na prova): suponha que x e y são números reais não negativos com x^{2}=y^{2}=a. Então
x^{2}-y^{2}=0.
Factorizando,
(x-y)(x+y)=0.
Como x+y\ge 0 e na verdade x+y>0 salvo o caso x=y=0, a igualdade acima implica x-y=0, ou seja x=y. Assim não existem dois números distintos e não negativos com o mesmo quadrado; isso garante a unicidade usada no passo anterior.

Passo 6

Observação prática (dica para prova/exame): ao resolver equações envolvendo \sqrt{\cdot} é comum “elevar ao quadrado” ambos os lados, mas atenção — ao fazer isso pode surgir soluções extranhas se não verificar a condição de sinal. Em termos práticos, a equivalência provada diz que resolver
\sqrt{\text{expressão}}=bã
é equivalente a resolver
b^{2}=\text{expressão}\quad\text{e}\quad b\ge 0.ã
Exemplo rápido: a equação \sqrt{x}= -2 tem à primeira vista, ao elevar ao quadrado, a solução x=4; mas -2 não é \ge 0, então não satisfaz a equivalência e não é solução. Em contraste, \sqrt{x}=2 x=4 e 2\ge0, logo x=4 é solução válida.

Resposta

\sqrt{a}=b \Leftrightarrow b^{2}=a \text{ e } b\ge 0

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