Resolva, em \mathbb{R}, as inequações modulares.
|5 x-3| \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação modular
|5x-3| \geq 2.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 5x-3.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade |5x-3|\geq 2.

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto e inequações do tipo |y|\geq a:
  • Para qualquer y\in\mathbb{R}, |y|=y se y\geq 0 e |y|=-y se y<0.
  • Geometricamente, |y|\geq a (com a\geq 0) significa que a distância de y até 0 é pelo menos a, ou seja, y está fora do intervalo aberto (-a,a).
  • Portanto, para a\geq 0 vale a equivalência
|y|\geq a \quad\Longleftrightarrow\quad y\leq -a \\ \text{ ou }\\ y\geq a.
Essa é a regra que vamos aplicar com y=5x-3 e a=2.

Passo 3

Aplicando a equivalência ao nosso caso: |5x-3|\geq 2 é equivalente ao sistema “ou” formado por
5x-3 \geq 2 \quad\text{ou}\quad 5x-3 \leq -2.
Explicando: substituiu-se y por 5x-3 e a por 2 na regra do passo anterior.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade 5x-3 \geq 2:
  • Somar 3 em ambos os lados:
5x \geq 2+3 = 5.
  • Dividir ambos os lados por 5. Como 5>0, a direção da desigualdade não muda:
x \geq \frac{5}{5} = 1.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade 5x-3 \leq -2:
  • Somar 3 em ambos os lados:
5x \leq -2+3 = 1.
  • Dividir por 5>0, novamente sem mudar a direção:
x \leq \frac{1}{5}.

Passo 6

Interpretando os dois resultados: a inequação original é satisfeita quando x satisfaz pelo menos uma das duas condições encontradas, isto é, quando
x \leq \frac{1}{5} \quad\text{ou}\quad x \geq 1.
Os extremos \frac{1}{5} e 1 estão incluídos porque a desigualdade original é \geq (não estrita).

Resposta

(-\infty, \frac{1}{5}] \cup [1, \infty)

Exercícios relacionados