Resolva, em
, as inequações modulares.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação modular
Informações dadas:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - Queremos todos os
que satisfazem a desigualdade .
Passo 2
Lembrete sobre valor absoluto e inequações do tipo
:
- Para qualquer
, se e se . - Geometricamente,
(com ) significa que a distância de até é pelo menos , ou seja, está fora do intervalo aberto . - Portanto, para
vale a equivalência
Essa é a regra que vamos aplicar com
e
.
Passo 3
Aplicando a equivalência ao nosso caso:
é equivalente ao sistema “ou” formado por
Explicando: substituiu-se
por
e
por
na regra do passo anterior.
Passo 4
Resolver a primeira desigualdade
:
- Somar
em ambos os lados:
- Dividir ambos os lados por
. Como , a direção da desigualdade não muda:
Passo 5
Resolver a segunda desigualdade
:
- Somar
em ambos os lados:
- Dividir por
, novamente sem mudar a direção:
Passo 6
Interpretando os dois resultados: a inequação original é satisfeita quando
satisfaz pelo menos uma das duas condições encontradas, isto é, quando
Os extremos
e
estão incluídos porque a desigualdade original é
(não estrita).