Exemplo 2.20 Seja r=t^2 i+arctg(2 t) j+e^-t k, calcule d rd t(t) e d^2 rd t^2(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz:
Dada a função vetorial
vec r(t)=t^2,vec i+arctan(2t),vec j+e^-t,vec k,
precisamos achar
dvec rdt(t) e d^2vec rdt^2(t).
Conteúdo: derivada de funções vetoriais e aplicação da regra da cadeia. A gente vai usar:
  1. ddtt^n = n,t^,n-1.
  2. Se f(u)=arctan(u), então f'(u)=11+u^2 e pela cadeia vem f'(g(t)),g'(t).
  3. Se h(u)=e^u, então h'(u)=e^u e, de novo, cadeia pra u=-t.

Passo 2

Calcular dvec rdt(t) componente a componente:
  1. Componente i: ddt(t^2)=2t.
  2. Componente j:
    Definimos u(t)=2t.
    Então ddtl[arctan(2t)r]=11+u^2,u' = 11+(2t)^2cdot 2 = 21+4t^2.
  3. Componente k:
    Definimos v(t)=-t.
    ddt(e^-t) = e^v(t)cdot v'(t) = e^-tcdot(-1) = -e^-t
Logo,
dvec rdt(t) =2t,vec i +21+4t^2,vec j - e^-t,vec k

Passo 3

Agora vem a segunda derivada, ou seja, derivar cada parte de dvec rdt:
  1. Componente i: ddt(2t)=2.
  2. Componente j:
    Temos w(t)=1+4t^2, então 2w(t)=2,w^-1.
    Usando cadeia:
    ddtl[2,w^-1r]=2cdot(-1),w^-2,w' = -2cdot w^-2cdot(8t) = -16t(1+4t^2)^2
  3. Componente k:
    ddt(-e^-t)=-l(e^-tcdot(-1)r)=e^-t
Portanto,
d^2vec rdt^2(t) =2,vec i -16t(1+4t^2)^2,vec j +e^-t,vec k

Resposta

boxed dvec rdt(t) =2t,vec i +21+4t^2,vec j - e^-t,vec k, d^2vec rdt^2(t) =2,vec i -16t(1+4t^2)^2,vec j +e^-t,vec k

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