Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty 1x-3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição formal de limite no infinito, que existe
limxtoinfty1x-3
O conteúdo aqui é a definição de limite quando x tende a infinito, e vamos precisar usar a fórmula:
“Dado varepsilon>0, existe M>0 tal que, se x>M, então l|f(x)-Lr|<varepsilon.”

Passo 2

Observamos que, intuitivamente, conforme xtoinfty, o termo tfrac1x-3 tende a zero. Então escolhemos
L=0
como candidato ao limite.

Passo 3

Aplicando a definição, precisamos garantir que, para todo varepsilon>0, exista M>0 tal que, sempre que x>M, valha
gl|1x-3-0gr|<varepsilon

Passo 4

Note que, para x>3, temos l|x-3r|=x-3 e
gl|1x-3gr|=1x-3
Queremos então
1x-3<varepsilon Long<=ftrightarrow x-3>1varepsilon Long<=ftrightarrow x>3+1varepsilon

Passo 5

Basta, portanto, escolher
M = 3 + 1varepsilon
Assim, sempre que x>M, garantimos l|1/(x-3)r|<varepsilon, satisfazendo a definição de limite no infinito.

Resposta

O limite existe e é
limxtoinfty1x-3=0

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