Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição formal de limite no infinito, que existe
O conteúdo aqui é a definição de limite quando
tende a infinito, e vamos precisar usar a fórmula:
“Dado , existe
tal que, se
, então
.”
“Dado
Passo 2
Observamos que, intuitivamente, conforme
xtoinfty , o termo
tfrac1x-3 tende a zero. Então escolhemos
como candidato ao limite.
Passo 3
Aplicando a definição, precisamos garantir que, para todo
varepsilon>0 , exista
M>0 tal que, sempre que
x>M , valha
Passo 4
Note que, para
x>3 , temos
l|x-3r|=x-3 e
Queremos então
Passo 5
Basta, portanto, escolher
Assim, sempre que
x>M , garantimos
l|1/(x-3)r|<varepsilon , satisfazendo a definição de limite no infinito.
Resposta
O limite existe e é