Questão 3 Determine L para que a função seja contínua
f(x)=ll raizx+6-xx^3-3 x^2, & x neq 3 L, & x=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar o valor de L para que a função seja contínua. Isso envolve entender o conceito de continuidade e calcular um limite.

Passo 2

Para a função f(x) ser contínua em x = 3 , o limite de f(x) quando x se aproxima de 3 tem que ser igual a f(3) , que é L . Então, nossa missão é calcular esse limite.

Passo 3

Primeiro, vamos escrever o limite que precisamos calcular:
limx to 3 raizx+6 - xx^3 - 3x^2
Vamos tentar substituir x = 3 diretamente:
raiz3+6 - 33^3 - 3 cdot 3^2 = raiz9 - 327 - 27 = 3 - 30 = 00
Aí deu uma indeterminação 00 , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Para resolver a indeterminação, vamos simplificar o numerador. Uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx+6 - x é raizx+6 + x .
Então, multiplicamos:
raizx+6 - xx^3 - 3x^2 times raizx+6 + xraizx+6 + x = (raizx+6)^2 - x^2(x^3 - 3x^2)(raizx+6 + x)
Simplificando o numerador:
(raizx+6)^2 - x^2 = x + 6 - x^2 = -x^2 + x + 6

Passo 5

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
- x^2 + x + 6 = - (x^2 - x - 6) = - (x - 3)(x + 2)
Denominador:
x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)
Então, a expressão fica:
- (x - 3)(x + 2) x^2(x - 3)(raizx+6 + x)

Passo 6

Agora, podemos cancelar o fator comum (x - 3) no numerador e no denominador:
- (x + 2) x^2 (raizx+6 + x)

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando x se aproxima de 3:
limx to 3 - (x + 2) x^2 (raizx+6 + x) = - (3 + 2) 3^2 (raiz3+6 + 3) = -5 9 (3 + 3) = -5 54

Resposta

Portanto, para a função ser contínua em x = 3 , o valor de L deve ser:
L = -dfrac554

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