Seja f definida em R. Suponha que
lim x 0 f(x)x=1
Calcule
lim x 1 f(x^2-1)x-1

Passo 1

O enunciado afirma que a função f satisfaz
limxto0f(x)x=1
e pede o valor de
limxto1fl(x^2-1r)x-1
Para resolver, vamos usar manipulação algébrica de x^2-1 e a propriedade de limites de produto.

Passo 2

Note que
x^2-1=(x-1)(x+1)
Logo podemos reescrever a expressão dentro do limite como
fl(x^2-1r)x-1 =fl(x^2-1r)x^2-1,cdotx^2-1x-1 =fl(x^2-1r)x^2-1,(x+1)

Passo 3

Ao fazermos xto1, temos x^2-1to0. Então, pela hipótese
limuto0f(u)u=1
com u=x^2-1, segue
limxto1fl(x^2-1r)x^2-1=1
Além disso,
limxto1(x+1)=2
Pelo teorema do produto de limites,
limxto1fl(x^2-1r)x-1 =l(limxto1fl(x^2-1r)x^2-1r), l(limxto1(x+1)r) =1cdot2=2

Resposta

2

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